Clase 5 - La estrella de 8 puntas

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El problema que veremos esta clase pertenece al nivel A y fue tomado en la Segunda Ronda de la de la 12^ma Competencia de Clubes Cabri. Decidimos tratar este problema pues notamos, a lo largo de la competencias, que muchos clubes tienen inconvenientes al construir las figuras.

Construir la siguiente estrella donde los segmentos resaltados miden 2, los segmentos no resaltados miden 1 y los ángulos son de 90° y 225°. Hallar su área.

Para construir la figura debemos comenzar construyendo un segmento de longitud 1 y uno de longitud 2 que formen un ángulo de 135° (ya que 360° - 225° = 135°).

1. Comencemos trazando un segmento AB que tendrá longitud 1. No es necesario que al medir el segmento el programa marque 1.0 sino que lo importante es que se mantengan las proporciones y que no se desarme la figura la mover los puntos.

2. Sea C el simétrico de A con respecto a B y sea D el simétrico de B con respecto a C.

3. Utilizando Perpendicular line tracemos una recta que pase por B y sea perpendicular a AB. Con Point on object coloquemos un punto P sobre la última recta construida.

4. Tracemos, ahora, la bisectriz del ángulo PBC usando Bisector.

5. Con centro B, construyamos la circunferencia que pasa por D. Para ello, dentro del menú Creation marcamos Circle by center & rad. pt. y con el mouse marcamos primero B y luego D.

6. Esta circunferencia interseca a la bisectriz de PBC en el punto M. Es importante marcar este punto utilizando el comando Intersection y no usando Basic point o Point on object porque sino al mover los puntos la figura se desarmará. Por un lado, MB = BD por ser ambos radios de la misma circunferencia. Además PBM = 45° por ser la mitad del ángulo PBC. Entonces ABM = 135° y MB mide el doble de AB.

7. Ahora, estamos bastante encaminados en la construcción. Tracemos por M la recta perpendicular a BM. Al intersecarse ésta con la recta AB tendremos otro punto de la estrella, Q.

8. Aprovechando la simetría de la estrella tracemos el simétrico de A con respecto a punto medio de BQ, obteniendo así otro vértice de la estrella.

9. Tracemos, ahora el cuadrado de lado AN de modo que M sea exterior a él para obtener otros dos vérices de la estrella. Les dejamos a ustedes la tarea de construir el cuadrado. Sea R la intersección de de MQ con la recta perpendicular a AN que pasa por N.

10. Sea T el simétrico de M con respecto al punto medio de QR. Entonces T es otro vértice de la estrella. Para construir los vértices rectantes trazamos el cuadrado de lado MT tal que N es exterior a él. ¿Por qué funciona esta construcción haciendo los cuadrados?

Queda para ustedes la labor de presentar la figura prolija como está en el enunciado. Como verán, los únicos puntos que fijamos, usando Basic point, en la figura son A y B ya que los otros quedan determinados por la construcción. Si movemos A o B la figura se agranda o achica pero la forma se mantiene.

A muchos, lo que les sucedió fue que se les desarmaba la figura al mover alguno de los puntos, pues en algún momento, además de para fijar A y B, utilizaron Basic point o Point on object para obtener otro de los puntos.

Otros supusieron que BQ medía el triple de AB (en realidad mide veces AB, como veremos, que es cercano a 3) y comenzaron la construcción basados en esa suposición. Muchas veces utilizar el comando Measure confunde un poco pues nos puede hacer creer que dos segmentos tienen una determinada relación que luego es incorrecta.

Nos falta, ahora, calcular el área de la estrella.

El área del triángulo BMQ es igual a BM.MQ/2 = 2. La estrella tiene 4 puntas iguales al triángulo BMQ por lo que para calcular su área necesitamos el área del cuadrado de lado AN.

De acuerdo con el teorema de Pitágoras BQ² = BM² + MQ² = 4 + 4. Entonces BQ = , por lo que AN = AB + BQ + QN = 1 + + 1.

Por tanto en área del cuadrado de lado AN es igual a (2 + )² . Finalmente llegamos a que el área de la estrella es igual a (2 + )² + 2 + 2 + 2 + 2 = 20 + 8Les recordamos, como hace un par de clases, que es mejor dejar el resultado tal cual está y no calcular el valor con decimales ya que éste será siempre una aproximación.

Problemas y actividades

1. Calcular las distancias desde uno de los vérices de la estrella a cada uno de los demás vértices.

2. Construir una estrella regular de 6 puntas. ¿Cuál es su área?

3. Construir un triángulo ABC tal que el ángulo B es recto, 3.AB = 2.BC.
a) Medir los segmentos AB y AC. Calcular el valor de AC/AB en base a los números que indica el programa.
b) Repetir el paso anterior varias veces moviendo el punto A. Si la figura está bien construida no se debe desarmar ni cambiar de forma, sí de tamaño.
c) Calcular el valor correcto de AC/AB utilizando Pitágoras para hallar AC. ¿Coincide con el valor estimado en los punto a) y b)?¿Qué conclusión puede sacar?

4. Construir un ángulo de 67,5°.

Les dejamos el problema que veremos la clase próxima así lo van pensando.

Nivel Avanzado: Sea AB segmento y sea P un punto sobre él. Sean APC y PBD triángulos equiláteros uno a cada lado del segmento AB. Hallar el lugar geométrico del punto medio de CD a medida que P se mueve sobre AB.

Será hasta la próxima. Hagan las actividades e intenten resolver los problemas. No se olviden de contestar la encuesta que se encuentra al final de la clase !!!

Esta fue la quinta clase de EduCabri 2001, el curso de Cabri por Internet para usuarios de Omanet. Esperamos que les haya gustado. La semana que viene, ofreceremos una nueva clase.

Mientras tanto, es el turno de ustedes. Queremos que sigan las actividades y hagan los problemas. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es educabri@oma.org.ar .

También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.

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