Clase 4 - El triángulo de las medianas

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El problema que veremos esta clase pertenece al nivel B y fue tomado en la Segunda Ronda de la 13^ma Competencia de Clubes Cabri.

Dado un triángulo ABC, construir el triángulo DEF cuyos lados midan igual que las medianas de ABC. Calcular la relación entre las áreas de ABC y DEF.

En principio la construcción de DEF dado ABC no resulta para nada complicada. De hecho con saber trasladar segmentos y saber como construir un triángulo dados sus lados es suficiente.

Sin embargo, esta forma de realizar la construcción no nos aporta nada para calcular la relación de áreas pedida.

Además, tampoco permite asegurar que para todo triángulo ABC existe efectivamente el triángulo DEF, ya que podría pasar que para algún triángulo una de sus medianas sea mayor que la suma de las otras dos (recuerdan que en un triángulo la suma de dos de sus lados es siempre mayor que el lado restante).

Entonces debemos buscar una forma de realizar la construcción de modo que nos garantice la existencia de DEF cualquiera sea ABC y en lo posible que nos permita calcular la relación entre sus áreas, que por cierto tampoco depende de ABC.

La idea feliz del problema está en trazar el simétrico de M con respecto a P donde P es el punto medio de OB. Así queda determinado el triángulo AMQ que como veremos tiene sus lados de longitud igual a la de las medianas de ABC.

Dado que P es el punto medio de OB y el punto medio de MQ entonces OQBM es un paralelogramo (¿recuerdan que un cuadrilátero era paralelogramo si y sólo si sus diagonales se bisecan mutuamente?).

Entonces OQ = BM = CM y al ser OQ // CM tenemos que OQMC también es un paralelogramo. Como consecuencia de ello sabemos que MQ = CO.

Nos faltaría probar que QA mide lo mismo que NB para demostrar que AQM tiene lados iguales a las medianas de ABC.

Como OQBM es un paralelogramo, entonces los segmentos BQ y OM miden lo mismo y son paralelos. Además, al ser OM base media de ABC tenemos que OM mide la mitad de AC y es paralelo a él.

Es decir, que BQ mide lo mismo que AN y es paralelo a él y entonces resulta que AQBN es un paralelogramo. Por tanto, QA = NB como queríamos probar.

Hasta esta altura demostramos que no importa como elijamos ABC siempre existe DEF y hallamos una forma sencilla de construirlo. Calculemos, ahora, la relación entre las áreas de ABC y DEF.

Los triángulo AOM y OBM tienen igual área pues tienen igual base, ya que AO = OB, e igual altura desde M. Del mismo modo MOP y MPB tienen igual área. En consecuencia, AMP tiene 3/4 del área de AMB.

Por el otro lado, sabemos que el área de MPB es la mitad del área de ABC pues tienen igual altura desde A pero MB mide la mitad que BC. Análogamente tenemos que el área de MOP es la mitad del área de AMQ.

Finalmente llegamos, entonces, a que el área de DEF es 3/4 del área de ABC.

Problemas y actividades

1. Sea ABC un triángulo, sea DEF el triángulo formado por las medianas de ABC y sea OPQ el triángulo formado por las medianas de DEF. Demostrar que ABC y OPQ son semejantes y hallar la razón de semejanza.

2. Sea ABC un triángulo, ¿existe siempre un triángulo DEF de lados iguales a las alturas de ABC?

3. Demostrar que en todo triángulo la suma de las medianas es menor que el perímetro y mayor que el semiperímetro.

Les dejamos el problema que trataremos la clase que viene así lo van meditando ...

Nivel Inicial: Construir la siguiente estrella donde los segmentos resaltados miden 2, los segmentos no resaltados miden 1 y los ángulos son de 90° y 225°. Hallar su área.

Será hasta la próxima. Hagan las actividades e intenten resolver los problemas. No se olviden de contestar la encuesta que se encuentra al final de la clase !!!

Esta fue la cuarta clase de EduCabri 2001, el curso de Cabri por Internet para usuarios de Omanet. Esperamos que les haya gustado. La semana que viene, ofreceremos una nueva clase.

Mientras tanto, es el turno de ustedes. Queremos que sigan las actividades y hagan los problemas. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es educabri@oma.org.ar .

También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.

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