Clase 3 - La flor de 4 pétalos

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El problema que vamos a tratar esta clase fue tomado en el nivel A durante la 12^ma Competencia de Clubes Cabri, y presentó muchas complicaciones a casi todos los clubes. Es por este motivo que decidimos hacer aquí su resolución, para poder además discutir los errores más frecuentes.

Sea ABCD un rombo tal que AC = 6 y BD = 8. Sea M el punto medio de AB, N el de BC, O el de CD y P el AD. Se trazan las circunferencias de centro D que pasa por P, la circunferencia de centro C que pasa por O, la circunferencia de centro B que pasa por N y la circunferencia de centro A que pasa por M. Así queda determinada una flor de 4 pétalos. Hallar el área y el perímetro de la flor.

Lo que mucha gente intentó hacer fue calcular los ángulos internos del rombo, para así hallar el área y el perímetro de los sectores de circunferencia por separado con lo cual estarían a un paso de resolver el problema.

Algunos asumieron que los ángulos ABC y CAD valían 60° pues en la figura, que no está hecha a escala, los triángulos ABC y ADC parecen equiláteros. Sin embargo, sabemos que esto no es así pues mientras AC mide 6 los lados del rombo miden 5. Verifíquenlo utilizando Pitágoras.

Otros, basados en conocimientos de trigonometría, consiguieron un valor de 73,74° para los ángulos mencionados. De todas formas, hacer esto tampoco está bien pues sigue siendo, aunque mejor, una aproximación.

Entonces, ¿cómo hacemos para calcular la medida de los ángulos? Bueno, el asunto es que no es necesario calcularla!!!

Probablemente sepan que la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360°. Es decir que:

ABC + BCD + CDA + DAB = 360°

Dado que los arcos marcados tienen ángulos de 360°-ABC, 360°-BCD, 360°-CDA y 360°-DAB entonces la suma de todos estos arcos tiene una medida de:

4 . 360° - (ABC + BCD + CDA + DAB) = 4 . 360° - 360° = 3 . 360°

O sea, que la suma de los 4 arcos de circunferencia equivalen a 3 circunferencias!!!

Ahora sí estamos a un paso de resolver el problema. El área de estas circunferencias es igual a p.(2,5)² ya que el radio de las mismas es 2,5. Por el otro lado, el área del rombo es AC.BD/2 = 6.8/2 = 24. ¿Recuerdan que el área de un rombo es la mitad del producto de las diagonales?

Entonces el área de la flor es igual a 3 . p.(2,5)² + 24 = 18,75.p + 24. A esta altura, muchos tienden a aproximar el resultado con dos o tres cifras decimales. Sin embargo, es más riguroso dejar el resultado tal cual está pues es el valor exacto del área.

Les dejamos a ustedes la tarea de calcular el perímetro de la flor.

Problemas y actividades

1. Construir la flor del problema (tengan en cuenta que no van a poder borrar parte de las circunferencias como en la figura).

2. Sea ABC un triángulo de perímetro 31. El radio de la circunferencia inscripta es 2. Cada uno de los arcos de circunferencia marcados tiene radio 2. ¿Cuánto vale el área sombreada?¿Y su perímetro?

Les dejamos el problema que veremos la clase próxima así lo van pensando...

Nivel Avanzado: Dado un triángulo ABC, construir el triángulo DEF cuyos lados midan igual que las medianas de ABC. Calcular la relación entre las áreas de ABC y DEF.

Será hasta la próxima. Hagan las actividades e intenten resolver los problemas. No se olviden de contestar la encuesta que se encuentra al final de la clase !!!

Esta fue la tercera clase de EduCabri 2001, el curso de Cabri por Internet para usuarios de Omanet. Esperamos que les haya gustado. La semana que viene, ofreceremos una nueva clase.

Mientras tanto, es el turno de ustedes. Queremos que sigan las actividades y hagan los problemas. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es educabri@oma.org.ar .

También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.

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