Clase 2 - Diagonales concurrentes

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El problema que vamos a tratar esta clase, en realidad una versión simplificada del mismo, fue tomada en la ronda Final de la 10^ma Competencia de Clubes Cabri en nivel B. Lo inusual de este problema es que pide probar que tres segmentos se cortan en un punto y a pesar de ello, en ningún momento es necesario utilizar un teorema de concurrencia del tipo de Ceva o Menelao.

Por si no recuerdan el enunciado de la clase pasada, aquí va:

Sea ABCDEF un hexágono tal que cada diagonal mayor divide al hexágono en dos cuadriláteros de igual área. Demostrar que dichas diagonales mayores se cortan en un único punto.

A continuación vamos a resolver el problema basándonos en la demostración que presentó el club ppQQ, ganador de la 10^ma Competencia de Clubes Cabri.

Tracemos la diagonales AD y FC:

Dado que cada diagonal mayor divide al hexágono en dos cuadriláteros de igual área, entonces estos cuadriláteros tendrán un área igual a la mitad de la del hexágono. Entonces: Área(ADEF) = 1/2 Área(ABCDEF) = Área(CDEF)

Además:

• Área(ADEF) = Área(DEF) + Área(FAD)

• Área(CDEF) = Área(DEF) + Área(CDF)

Igualando tenemos que Área(FAD) = Área(CDF). Dado que ambos triángulos tienen igual base FD, sus alturas desde A y C respectivamente deberán ser iguales. Como consecuencia de ello AC es paralelo a FD.

Análogamente podemos probar que BF // CE y BD // AE. ¿Qué nos dicen estos tres pares de segmentos paralelos? Bueno, que los triángulos ACE y DFB son semejantes y además que sus lados correspondientes son paralelos. Es decir, que ambos triángulos son homotéticos.

Esto último implica que si unimos los vértices correspondientes: A y D; F y C; y B y E las rectas que determinan deben cortarse en el centro de homotecia. Por tanto, AD, FC y BE son concurrentes.

Problemas y actividades

1. Sea ABCDEF un hexágono convexo. Decidir si en los siguientes casos es siempre cierto que cada diagonal mayor lo divide en dos cuadriláteros de igual área:

• Los triángulos BDF y ACE son semejantes.

• Los triángulos BDF y ACE son semejantes y homotéticos.

• Los lados opuestos son paralelos entre sí.

2. Sea ABCD un trapecio con AB // CD y tal que AD no sea paralelo a BC. Sea P un punto en BC y sea K en la recta CD tal que PK // AD. Demostrar que el área de ADK es la mitad del área de ABCD si y sólo si P es el punto medio de BC.

3. Sea ABCDEF un hexágono que tiene las siguientes propiedades:

• La suma de los ángulos A, C y E es 360°.

• Los lados opuestos del hexágono son iguales.

Demostrar que las áreas de ACE y BDF son iguales.

Les dejamos el problema que vamos a tratar la clase que viene así lo van pensando....

Nivel Inicial: Sea ABCD un rombo tal que AC = 6 y BD = 8. Sea M el punto medio de AB, N el de BC, O el de CD y P el AD. Se trazan las circunferencias de centro D que pasa por P, la circunferencia de centro C que pasa por O, la circunferencia de centro B que pasa por N y la circunferencia de centro A que pasa por M. Así queda determinada una flor de 4 pétalos. Hallar el área y el perímetro de la flor.

Será hasta la próxima. Hagan las actividades e intenten resolver los problemas. No se olviden de contestar la encuesta que se encuentra al final de la clase !!!

Esta fue la segunda clase de EduCabri 2001, el curso de Cabri por Internet para usuarios de Omanet. Esperamos que les haya gustado. La semana que viene, ofreceremos una nueva clase.

Mientras tanto, es el turno de ustedes. Queremos que sigan las actividades y hagan los problemas. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es educabri@oma.org.ar .

También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.

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