Clase 1 - Completando el hexágono

Esperamos sus mails en educabri@oma.org.ar.

Luego de unas largas vacaciones retomamos el curso de Cabri Geométre. Este año, al igual que el anterior, continuaremos aprendiendo geometría a través de la resolución de problemas.

Cada clase trataremos un problema distinto. Para que este curso les sirva a todos iremos alternando problemas sencillos o de nivel inicial con problemas más avanzados, lo cual será aclarado en el índice de las clases.

Si ustedes desean, pueden sugerir problemas para que tratemos en futuras clases o enviarnos las soluciones a los problemas propuestos.

Bueno, basta de charla y manos a la obra!!!

Sea ABCDEF un hexágono que tiene todos sus ángulos de 120° y AB = 1, BC = 4, CD = 2 y EF = 3. Construir dicho hexágono y hallar las medidas de AF y ED.

Lo primero que uno se pregunta al ver este problema es: ¿es único el hexágono o pueden haber varios que cumplan con el enunciado? Cuando hagamos la construcción vamos a ver que efectivamente hay un sólo hexágono que satisface todas las condiciones, pero en principio no lo sabemos.

Hagamos una figura de análisis prolongando los lados AF, BC y ED:

Dado que FAB = 120° entonces PAB = 60°. Además como ABC = 120° entonces PBA = 60°. Es decir, que PAB es un triángulo equilátero. Del mismo modo probamos que CDQ y EFR son equiláteros. Entonces PQR es un triángulo equilátero. ¿Por qué? Calculemos la longitud de PQ = PB + BC + CQ. Dado que PB = AB = 1 y CQ = CD = 2, entonces, PQ = 1 + 4 + 2 = 7.

Ahora estamos en condiciones de calcular AF y ED.

Como PQR es equilátero entonces RQ = PQ = 7. Además, RQ = RE + ED + EQ. Dado que EFR y CDQ son equiláteros, RE = EF = 3 y DQ = CD = 2. Por tanto, 7 = 3 + ED + 2. De donde ED = 2.

Del mismo modo podemos demostrar que AF = 3.

En este momento estamos en condiciones de probar que el hexágono ABCDEF es único. Basta tomar un triángulo equilátero de lado 7 y quitarle de las puntas tres triángulos equiláteros de lados 1, 2 y 3 lo cual puede realizarse de una sola forma. Asimismo obtuvimos una forma de construirlo.

Comenzamos construyendo el triángulo equilátero ABP. Luego, utilizando Symmetrical point varias veces obtenemos el triángulo equilátero PQR cuyo lado es 7 veces el de ABP. De este modo determinamos los puntos F y C. Para construir los puntos E y D trazamos por F una paralela a PQ y por C una paralela a PR. Tal vez se hayan preguntado por qué comenzamos la construcción con el triángulo ABP y no con PQR.

La razón de esto es que es más difícil dividir un segmento en 7 partes iguales que tomar un segmento y repetirlo con Symmetrical point para formar una 7 veces mayor. De todas formas les sugerimos que intenten hacerlo de esta manera.

Problemas y actividades

1. Hallar las medidas de todas las diagonales de ABCDEF.

2. Sea P un punto cualquiera en el interior de ABCDEF, ¿qué es mayor: la suma de las distancias de P a AB, CD y EF, o la suma de las distancias de P a BC, DE y FA?

3. Sea ABCD un cuadrilátero tal que ABC = 120°, BCD = 30° y CDA = 90°. Sabiendo que AD = 1 y AB = 2 hallar la medida de BC y la de CD. Construir dicho cuadrilátero.

Les dejamos el problema que vamos a tratar la clase que viene así lo van pensando....

Nivel Avanzado: Sea ABCDEF un hexágono tal que cada diagonal mayor divide al hexágono en dos cuadriláteros de igual área. Demostrar que dichas diagonales mayores se cortan en un único punto.

Será hasta la próxima. Hagan las actividades e intenten resolver los problemas. No se olviden de contestar la encuesta que se encuentra al final de la clase !!!

Esta fue la primer clase de EduCabri 2001, el curso de Cabri por Internet para usuarios de Omanet. Esperamos que les haya gustado. La semana que viene, ofreceremos una nueva clase.

Mientras tanto, es el turno de ustedes. Queremos que sigan las actividades y hagan los problemas. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es educabri@oma.org.ar .

También nos gustaría saber tu opinión sobre esta clase. Te pedimos que te tomes unos instantes y contestes estas preguntas. Con tu ayuda podremos hacer un curso cada vez mejor.

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