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1° Torneo del Norte Argentino
Segunda Ronda Olimpíadas Regionales 2009

Nivel A

Problema 1. En un examen, el promedio de las notas de todos los alumnos que aprobaron es 6,5 y el promedio de las notas de todos los alumnos que no aprobaron es 3,5. El promedio de las notas de todos los alumnos que rindieron el examen es 5,3. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que aprobaron el examen?

Problema 2. Con tres dígitos distintos A, B, C se forman los tres números enteros positivos ABC, BCA, CAB. La multiplicación de los tres números ABC ´ BCA ´ CAB es un número de 9 cifras que se forma con los dígitos 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 8. Se sabe además que el dígito de las unidades es el 6. ¿Cuáles son los tres dígitos A, B, C?

Problema 3. En la figura, ABCD, KLMN y PQRS son cuadrados.

AK = BL = CM = DN = 5 cm,

KB = LC = MD = NA = 12 cm,

KP = LQ = MR = NS = 6 cm,

PL = QM = RN = SK.

¿Cuál es el área del cuadrado PQRS?
 

Primer nivel

Problema 1. Se deben repartir exactamente 99 monedas entre varias personas con el siguiente procedimiento: La primera persona recibe 1, 2 o 3 monedas. La segunda persona recibe una moneda más o una moneda menos que la primera; la tercera persona recibe una moneda más o una moneda menos que la segunda, y así siguiendo, cada persona recibe una moneda más o una moneda menos que la anterior.
Determinar el menor número de personas con el cual se puede hacer el reparto.
Para el número hallado, ¿de cuántas maneras se puede hacer el reparto?

Problema 2. Hallar todos los números enteros positivos de seis dígitos abcdef que son divisibles por el producto (multiplicación) de los dos números de tres dígitos abc por def.

Nota: Entre los dígitos a, b, c, d, e, f puede haber repeticiones.

Problema 3. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD, y lados no paralelos BC y DA, y una semicircunferencia con centro en el segmento AB y tangente a los otros tres lados del trapecio. Si AB = 15 y DA = 6, calcular la medida de BC.

Nota: Si P es un punto de una circunferencia de centro O, la recta tangente a la circunferencia en P es perpendicular al radio OP.

Segundo nivel
 

Problema 1. Ariel distribuye 2009 piedras en pilas. Sea x el número de pilas e y la cantidad de piedras que contiene la pila con mayor cantidad de piedras. Determinar el menor valor posible de x + y.

Nota: Las cantidades de piedras en las pilas pueden repetirse.

Problema 2. Se colorea un tablero de 8 ´ 8 con tres colores (verde, amarillo y rojo). Una coloración se llama apropiada si al colocar sobre el tablero una pieza como la del dibujo, cubriendo exactamente 5 casillas del tablero, entre las 5 casillas cubiertas siempre hay por lo menos una de cada color.

Demostrar que el número de coloraciones apropiadas es mayor o igual que 6⁸.

Nota: La pieza se puede girar.

Problema 3. Sea ABC un triángulo y D, E puntos de los lados AB, BC respectivamente, tales que . Sea P un punto en el lado AC. Demostrar que si DE es perpendicular a PE entonces PE es la bisectriz del ángulo , y recíprocamente, si PE es la bisectriz del ángulo  entonces DE es perpendicular a PE.

Tercer nivel

 Problema 1. Hallar todas las soluciones enteras positivas a, b, c de la ecuación

.

Problema 2. Un tablero de 3 ´ n está dividido en cuadraditos de 1 ´ 1. Se tienen fichas de 1 ´ 1 y de 2 ´ 1 que cubren exactamente uno y dos cuadraditos del tablero, respectivamente. Calcular la cantidad de maneras diferentes de cubrir completamente el tablero (sin huecos ni superposiciones y sin sobresalir del tablero), si cada ficha de 2 ´ 1 debe ubicarse con el lado mayor paralelo al lado de longitud 3 del tablero y además, dos de estas fichas nunca pueden tocarse entre si.

Problema 3. En el pizarrón había dibujado un triángulo acutángulo ABC y un punto interior M con la siguiente propiedad: las rectas trazadas por M que son perpendiculares a los lados BC, AC y AB cortan a estos lados en P, Q, R respectivamente de modo que el triángulo PQR es equilátero. Se borró todo menos los tres puntos A, B, C. Hallar un procedimiento para marcar nuevamente el punto M.

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