9na Competencia de Clubes Cabri
Tercera Ronda

7 de noviembre de 1998

1

Construir la siguiente figura donde el triángulo es equilátero y las dos circunferencias tienen el mismo radio.

2

Decimos que un hexágono ABCDEF es cuasi-regular si todos sus ángulos son iguales y AB = BC = DE = EF y FA = CD = ½ AB

Dividir dos hexágonos regulares iguales en piezas, de modo tal que usando todas las piezas se puedan formar tres hexágonos cuasi regulares iguales.

3

A partir de un triángulo ABC rectángulo en A, se construyen los triángulos ABD (AD = DB y CD // AB), BCE (BE = EC y EA // BC) y CAF (CF = FA y FB // CA). Hallar la relación entre las áreas de ABC y DEF.

4

a) Probar que todo triángulo que cumple que cada ángulo es el promedio de los restantes ángulos es un triángulo equilátero. Justificar.

b) ¿Es cierto que todo cuadrilátero que cumple que cada ángulo es el promedio de los restantes ángulos es un cuadrado? Justificar.

5

Construir un pentágono ABCDE tal que, todos sus lados midan lo mismo y los ángulos ABC y AED sean rectos.

6

Sea ABCD un cuadrilátero y sean E, F, G y H los puntos medios de AB, BC, CD y DA respectivamente.

Se trazan O y L puntos medios de EC y ED respectivamente.
Se trazan N y I puntos medios de FD y FA respectivamente.
Se trazan P y K puntos medios de GA y GB respectivamente.
Se trazan J y M puntos medios de HB y HC respectivamente.

Probar que los segmentos IJ, KO, MN y LP miden lo mismo.

7

a) Hallar el lugar geométrico del circuncentro del triángulo GHI siendo G un punto en el lado AB de un hexágono regular ABCDEF, H e I pertenecientes a CD y EF respectivamente y GH // BC, GI // AF.

b) Hallar el lugar geométrico del baricentro del triángulo GHI siendo G un punto en el lado AB de un hexágono regular ABCDEF, H e I pertenecientes a CD y EF respectivamente y GH // BC, GI // AF.

8

Dado un triángulo isósceles ABC (AB = AC) sea C la circunferncia de centro O circunscripta al mismo y C’ la circunferencia de centro A que pasa por B. Sea D la intersección de la recta CO con C, E la intersección de la recta CO con C’, F la intersección de la recta CA con C’, G la intersección de la recta BA con C’, H la intersección de la recta BO con C’ y I la intersección de la recta BO con C. Hallar la relación entre el área de DEFGHI y ABC.

9

Dado un triángulo ABC y un punto P en su interior, se trazan las rectas perpendiculares por P a los lados AB, BC y CA del triángulo. Estas rectas intesectan a los lados del triángulo en ciertos puntos. Probar que no importa donde está P, nunca habrá exactamente dos de dichos puntos en cada lado.

10

Dado un triángulo ABC, se construyen los triángulos equiláteros ADE (en sentido horario), de centro B, y AFG (también en sentido horario), de centro C. Sea P el punto medio de DG y M el punto medio de EF. Probar que la longitud de PM no varía al mover A.

11

Sea O el punto medio de un segmento AB, P un punto (distinto de O) en AB. Sea M el punto medio de AP y N el punto medio de PB. Se trazan las circunferencias de centro A que pasa por N y de centro B que pasa por M. Hallar la relación entre las áreas de los triángulos OCD y PCD (siendo C y D las intersecciones entre dichas circunferencias.)

12

Dados tres puntos D, E y F, construir un triángulo ABC tal que los puntos D, E y F sean las intersecciones entre la bisectriz de A y la mediatriz de BC; la bisectriz de B y la mediatriz de CA; la bisectriz de C y la mediatriz de AB respectivamente.

13

Dado un triángulo ABC de circuncentro O, se traza el triángulo DEF formado por los circuncentros de los triángulos OBC, OCA y OAB respectivamente. Análogamente se traza el GHI formado por los circuncentros de los triángulos OEF, OFD y ODE respectivamente. Probar que ABC es semejante a GHI.

14

¿Cómo debe ser ABCD para que IJKL sea un cuadrado?

15

Sea ABC un triángulo y sea D un punto en AC. Se traza C₁, la circunferencia de centro A que pasa por D y corta a AB en E. Se traza C₂ circunferencia de centro B que pasa por E y corta a BC en F. Se traza C₃, la circunferencia de centro C que pasa por F y corta a CA en G. Hallar el lugar geométrico del punto medio de DG al variar D sobre AC.

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