8va Competencia
de Clubes Cabri
Tercera Ronda
29 de agosto de 1998
| nivel A |
1
Construir la siguiente figura:
donde ABCDEF es un hexágono regular, HFG es un triángulo equilátero y F es el punto medio de O1O2 (centros de dichas figuras).
Hallar el área de BCDHG sabiendo que el área de HFG es 9.
2
Dividir un triángulo equilátero en 12 triángulos iguales entre sí de 2 formas diferentes.
3
Dado un cuadrado ABCD, construir un cuadrado EFGH tal que su perímetro sea 7/5 del perímetro de ABCD y tal que A, B, C y D pertenezcan a EF, FG, GH y HE respectivamente.
4
Dado un triángulo ABC y un segmento EF en BC (con E entre B y F), construir un paralelogramo EFGH con G en CA y H en AB. Justificar porque EFGH construido es un paralelogramo.
Notas: El triángulo ABC debe ser un triángulo genérico, sin ninguna propiedad particular. La construcción debe ser tal que al mover los vértices del triángulo o del segmento EF los puntos G y H se acomoden para mantener la propiedad pedida.
| nivel B |
5
Construir la siguiente figura, donde C1 y C2 tienen el mismo radio y las tres circunferencias son tangentes entre sí y tangentes a los lados del rectángulo exterior.
6
Dado un triángulo equilátero ABC, sea P un punto en su interior. Sean D y E los pies de las perpendiculares de P con respecto a AB y BC respectivamente. Sean F, G los pies de las perpendiculares de D y E con respecto a CA. Hallar el lugar geométrico de los puntos P para los que FG mide la mitad de CA.
7
Sea C1 y C2 dos circunferencias que se cortan en B y en C. Dado un punto A en C1, se construyen D y E en C2 de tal forma que ABD y ACE estén alineados. Hallar el lugar geométrico de P (punto medio de DE) al moverse A en C1.
8
Dado un cuadrado, y un punto interior P. Se trazan por P rectas paralelas a los lados y diagonales del cuadrado, dividiendo así al cuadrado en ocho partes. Numeremos las partes en el sentido de las agujas del reloj (1,2,3,...,8). Probar que la suma de las áreas de las partes 1, 3, 5 y 7 es igual a la mitad del área del cuadrado.
| nivel C |
9
Dado un triángulo O1A1O2 rectángulo en A, se contruyen los n-ágonos regulares A1A2…An- 1An y A1B2…Bn- 1Bn de centros O1 y O2 (mismo sentido). Probar que las rectas A2B2, A3B3,…, An- 1Bn- 1, AnBn concurren.
10
Dado un cuadrado ABCD, se construye una circunferencia tangente a los lados AB y BC que pasa por D. Las intersecciones con los lados AB, BC, CD y DA son E, F, G y H respectivamente. Probar que el punto medio del segmento formado por el centro de dicha circunferencia y la intersección de las diagonales de EFGH coincide con el centro del cuadrado.
11
Sea C1 y C2, de centros O1 y O2, dos circunferencias que se cortan en B y en C. Dado un punto A en C1. Se definen a D y E en C2 tales que ABD y ACE están alineados. Sea Q el circuncentro de AED. Probar que AO1O2Q es un paralelogramo.
12
Dado un triángulo ABC, sean D, E y F en los lados BC, CA y AB tales que BD / BC = CE / CA = AF / AB = k. Se trazan las circunferencias circunscriptas a ABD, BCE, CAF (de centros G, H e I respectivamente) formándose en sus intersecciones dos a dos (diferentes a A, B y C) un triángulo A’B’C’. Probar que IGH es semejante a ABC.
13
En el problema anterior, probar que ABC es semejante a A’B’C’. Hallar la razón de semejanza.
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