7ma Competencia de Clubes Cabri
Tercera Ronda

30 de mayo de 1998

1

Construir la siguiente figura (el triángulo es equilátero):

Si el círculo pequeño tiene área 5, ¿cuál es el área del círculo grande?

2

Construir un triángulo ABC, tal que si A’, B’ y C’ son los puntos medios de los lados BC, CA y AB respectivamente y se trazan las mediatrices de los segmentos A’B, B’C y C’A, las intersecciones entre estas tres rectas forman un nuevo triángulo congruente al ABC.

1. Dividir 5 cuadrados iguales en piezas, de manera tal que se puedan armar 4 cuadrados iguales con dichas piezas (y no sobren piezas).
2. Dividir 5 cuadrados iguales en piezas, de manera tal que se puedan armar 8 cuadrados iguales con dichas piezas (y no sobren piezas).

3

Dado un paralelogramo ABCD (en ese orden), se traza la recta R paralela a AC que pasa por B. Sea el segmento EF en la recta R de manera que AC y EF miden lo mismo. Probar que ABCD y ACEF tienen el mismo área.

4

Dividir un triángulo equilátero en partes de forma tal que con dichas partes se formen 2 hexágonos regulares iguales.

5

Dada una circunferencia C y una cuerda AC perteneciente a la misma. Construir el trapecio inscripto ABCD (AB // CD) tal que AC y BD sean perpendiculares.

6

Dada una circunferencia C de centro O y una cuerda AB, sea P la intersección entre la bisectriz de ABO y C. Probar que el circuncentro de PAO pertenece a la circunferencia circunscripta a ABO.

7

Sea ABC un triángulo acutángulo , se construyen los rectángulos semejantes ABDE y BCFG (exteriores al triángulo). Probar que

1. EF y las mediatrices de AC y DG concurren.
2. El punto de intersección es el punto medio de EF.

8

Sea ABCD un trapecio isósceles (AB // CD, AB = BC) de circuncentro O. Probar que BO es bisectriz de ABC.

9

Dada una circunferencia de centro O y una cuerda AB. Hallar un punto C de la circunferencia de manera que OG = GM (G es el baricentro de ABC y M el punto medio de AB).

10

1. Dado un segmento OO’ y un punto A en el mismo, se construyen los octógonos regulares ABCDEFGH y AB’C’D’E’F’G’H’ de centros O y O’ respectivamente. Sea P la intersección de las rectas BB’ y DD’. Hallar la medida del ángulo BAP.
2. Generalizar para un 2n-gono regular.

11

Sea ABC un triángulo. Sea D tal que AD // BC, y E en BC tal que AE // DC. Construir D tal que el ángulo AED sea máximo.

12

Dado un triángulo equilátero ABC hallar el lugar geométrico de O (circuncentro de PBQ) sabiendo que P y Q son puntos de AB y BC tales que PB = QC.

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