6^ta Competencia de Clubes Cabri

Segunda ronda

1^er nivel

1. Dividir un triángulo equilátero en seis triángulos isósceles.

2. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a dos rectas dadas están en relación 1:2. Justificar

3. Dado un triángulo rectángulo ABC. Sean m_A, m_B y m_C los puntos medios de los lados BC, CA y AB respectivamente. Se trazan C_A, C_B y C_C circunferencias de centros m_A, m_B y m_C que pasan por A, B y C respectivamente. Probar que dichas circunferencias pasan por un mismo punto.

4. Construir la siguiente figura, donde cada circunferencia es tangente a las otras tres y los radios de C₁, C₂ y C₃ están en relación 1:2:3.

2^do Nivel

5. Dada una circunferencia C, un punto B en su interior, construir un rombo ABCD, con A y C sobre C y de área máxima.

6. Dado un triángulo ABC. Sea C_B el simétrico de C con respecto a B. Sea B_C el simétrico de B con respecto a C. Sea A_B el simétrico de A con respecto a B. Sea A_C el simétrico de A con respecto a C. Sea O el baricentro de A_BA_CB_CC_B. Probar que las áreas de ABC y OA_BA_C son iguales.

7. Dado un cuadrado ABCD se construyen los triángulos ABE y BCF (exteriores al cuadrado) tales que <EAB = <BCF = 15° y <EBA = <CBF = 30°. Probar que AF, BD y CE se cortan en un punto formado seis ángulos iguales.

8.

1. Se tiene un rombo. Hallar todos los puntos interiores P tales que al unir P con los vértices del rombo, las áreas de los cuatro triángulos determinados estén en relación 1:3:5:7.
2. ¿Existe alguno tal que la relación sea 1:2:4:8?
3. Hallar todas las relaciones tales que haya un solo punto P.

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