3^era Competencia de Clubes Cabri

Ronda final

1^er nivel

1. Dado un punto P sean C₁, C₂ y C₃ circunferencias de igual radio que pasan por P. Probar que los centros de las tres circunferencias están en una circunferencia del mismo radio.

2. Dado el triángulo ABC. Sea P un punto cualquiera perteneciente al lado BC. Sean D y E pertenecientes a AB y AC respectivamente tales que ADPE es un paralelogramo. Probar que el semiperímetro de ADPE está comprendido entre las medidas de AB y AC.

3. Sea ABC un triángulo de lados AB =  10, BC = 6 tal que el área de ABC es igual a 18. Sea M el punto medio de AB y H₁ en BC tal que MH₁ es perpendicular a BC. Sea H₂ en AB tal que H₁H₂ es perpendicular a AB. Calcular H₁H₂.

4. a) En un cuadrilátero convexo ABCD se sabe que la relación entre las áreas de los triángulos ABC, BCD, CDA y DAB es 1:1:1:x. Hallar todos los valores posibles de x. Construir un ejemplo para cada valor de x.

   b) Idem a) pero 1:2:3:x.

5. Dado un punto P sean C₁, C₂ y C₃ circunferencias de igual radio que pasan por P. Probar que las intersecciones dos a dos (distintas de P) de las tres circunferencias están en una circunferencia del mismo radio.

6. Dado un triángulo ABC, encontrar el lugar geométrico de los centros de los triángulos equiláteros DEF con D, E y F pertenecientes a las rectas AB, BC y CA respectivamente.

2^do nivel

7. Construir la siguiente figura, donde C₂, C₃, C₄ y C₅ tienen radio mitad del de C₁. Y las restantes cuatro circunferencias tienen todas el mismo radio.

8. Dado un octógono regular ABCDEFGH, se une cada vértice con el punto medio del lado siguiente al lado siguiente al vértice. (A con el punto medio de CD, B con el punto medio de DE, etc.) Formandose un octógono A'B'C'D'E'F'G'H' cuyos vértices son las intersecciones de dichos segmentos. Averiguar la relación entre las áreas de los octógonos ABCDEFGH y A'B'C'D'E'F'G'H'.

9. Sean A, B y C puntos alineados, r una recta que pasa por C. B' el simetrico de B con respecto a r y sea P el punto de intersección de AB' y r. Hallar el lugar geométrico de P al variar r.

10. Construir una circunferencia y un diámetro MN fijo. Construir un segmento fijo CD. Sea AB una cuerda de la circunferencia de igual longitud que CD. Sean I y J proyecciones ortogonales de A y B sobre MN, respectivamente. Sea P el punto medio de AB. Probar

    a) El triángulo IPJ es isósceles.

    b) Al variar la posición de AB los triángulos IPJ son siempre semejantes entre si.

11. Dado un triángulo ABC isósceles encontrar un punto P tal que si se trazan las bisectrices de los ángulos APB, BPC y CPA estas intersecan a los lados AB, BC y CA en los puntos A', B' y C' y el triángulo A'B'C' es equilátero.

12. Construir un triángulo ABC conociendo el lado BC, el perímetro y sabiendo que el ángulo C mide el doble del ángulo B.

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