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2da Competencia de Clubes Cabri
Ronda final
1er nivel
1. Se tienen dados tres puntos: O, G y M. Construir un triángulo de forma tal que O sea su circuncentro, G su baricentro, y M el punto medio de un lado.
2. Sea ABC un triángulo y H su ortocentro. Se traza la altura desde A, que corta a BC en D. Sobre la prolongación de la altura AD se toma el punto E de tal modo que los ángulos <CAD y <CBE sean iguales. Probar que BE = BH.
3. Sea C una circunferencia, y M un punto variable en su exterior. Por M se trazan las tangentes a C. Sean A y B los puntos de tangencia. Hallar el lugar geométrico del incentro del triángulo MAB al variar M.
4. i) Encontrar un punto D en el interior de un triángulo ABC tal que las áreas de los triángulos ABD, BCD y CAD sean iguales.
ii) Idem con D en el exterior de ABC.
2do nivel
5. Sea ABC un triángulo y M un punto variable sobre AB. N es el punto en la prolongación de AC tal que CN = BM y que no pertenece a la semirrecta CA. Se construye el paralelogramo BMNP (en ese orden). Hallar el lugar geométrico de P al variar M.
6. Sea
ABCD un cuadrilátero. Sean C1, C2,
C3, C4 las circunferencias de
diámetros AB, BC, CD y DA
respectivamente. Sean P, Q R y S los
puntos de intersección (que no son vértices de ABCD)
de C1 y C2; C2 y C3;
C3 y C4; C4 y C1
respectivamente.
Demostrar que los cuadriláteros ABCD y PQRS
son semejantes.
7. M,
N y P son tres puntos alineados, con N
entre M y P. Sea r la mediatriz de NP.
Se toma un punto O sobre r. C es la
circunferencia con centro O que pasa por N.
Las tangentes por M a C cortan a C en T y
T'.
Hallar el lugar geométrico del baricentro del triángulo
MTT' al variar O sobre r.
8. Q
y R son los centros de tres circunferencias que
pasan por el mismo punto O. Sean A, B
y C los puntos (distintos de O) de
interesección de las circunferencias.
Demostrar que A, B y C están
alineados si y solo si O, Q y R
están en una misma circunferencia.
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