Décimo-Octava Competencia de Clubes Cabri
Cuarta Ronda

Nivel Mayor

Jueves 3 de Abril de 2008

Duración: 4 horas

Problema N°1:

Se tiene un hexágono ABCDEF de lados opuestos iguales y paralelos. Probar que AD, BE y CF se cortan en un punto.

Problema N°2:

Sea ABC un triángulo, Hb y Hc los pies de las alturas por B y C respectivamente, y Tb y Tc los puntos de tangencia sobre AC y AB con la circunferencia inscripta de ABC. Las bisectrices por B y C intersecan a TbTc en P y Q respectivamente. Probar que HbPQHc es cíclico (es decir, que los cuatro puntos están en una circunferencia).

Problema N°3:

Sea ABC un triangulo y sean D, E, F las intersecciones de las bisectrices de los ángulos BAC, ABC, ACB con los lados BC, AC y AB respectivamente. Sea ahora P la intersección de BE con FD y Q la intersección de CF con DE. Probar que BAP = CAQ.

Problema N°4:

Se tienen dos circunferencias C_1 y C_2 que se cortan en P y Q. Sea M un punto en el interior de C_1 y N un punto en el exterior de C_2. Construir un cuadrilátero ABCD con A y B en C_1 y C y D en C_2 de forma que M, Q, N, P estén sobre las rectas AB, BC, CD, y DA respectivamente.

Una vez finalizada la prueba, las soluciones a los problemas deben enviarse por mail a la dirección clubescabri@oma.org.ar, colocando en el subject del mail el nombre de su club, el nivel al que corresponde y el código que les asignamos. Pueden enviar las respuestas en el mismo texto del mail, en archivo de Word o en archivo PDF. Pueden adjuntar todos los dibujos que hayan hecho con el programa de geometría que estén usando (.fig, .geo, etc) que les parezcan útiles para acompañar la explicación.
Deben estar justificados todos los razonamientos que los llevaron a la solución. Pueden enviar las ideas de problemas que no lograron terminar, ya que son consideradas a la hora de evaluar la prueba.

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