18va Competencia de Clubes Cabri
Tercera Ronda

Nivel Menor

Duración: 4 horas

1) Sea ABC un triángulo equilátero y PQRS un cuadrado con P y Q en BC, R en CA y S en AB. Si se sabe que PQ = 3, calcular la medida del segmento AB y la del ángulo <PAS.

2) Sea ABC un triángulo, con M y N puntos medios de AB y AC, respectivamente. Sea además H el pie de la altura trazada por A en el lado BC.

1. Si se borra toda la figura y sólo quedan los puntos M, N y H, dar un procedimiento para reconstruir A, B y C usando sólo regla y compás.
2. Si HM = MN probar que <BCA = <BAC.

3) Sea ABC un triángulo y C₁, C₂ y C₃ tres circunferencias de centros O₁, O₂ y O₃, tales que C₁ es tangente a AB y a AC, C₂ es tangente a AB y a BC y C₃ es tangente a AC y a BC. Se sabe además que las tres circunferencias tienen un punto en común, y que todas tienen el mismo radio, al que llamamos r_c.

1. Probar que las rectas AO₁, BO₂ y CO₃ son concurrentes (tienen un punto en común).
2. Si P es el perímetro y R el radio de la circunferencia circunscripta (circunradio) del triángulo ABC, y p es el perímetro del triángulo O₁O₂O₃, probar que P/p = R/r_c.
3. Sea r el radio de la circunferencia inscripta (inradio) del triángulo ABC, entonces 1/r_c = 1/R + 1/r.

Una vez finalizada la prueba, las soluciones a los problemas deben enviarse por mail a la dirección clubescabri@oma.org.ar, colocando en el subject del mail el nombre de su club, el nivel al que corresponde y el código que les asignamos. Pueden enviar las respuestas en el mismo texto del mail, en archivo de Word o en archivo PDF. Pueden adjuntar todos los dibujos que hayan hecho con el programa de geometría que estén usando (.fig, .geo, etc) que les parezcan útiles para acompañar la explicación.
Deben estar justificados todos los razonamientos que los llevaron a la solución. Pueden enviar las ideas de problemas que no lograron terminar, ya que son consideradas a la hora de evaluar la prueba.

Página Principal	Olimpíada Matemática Argentina    www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar