15ta Competencia de Clubes Cabri
Primera Ronda

22 de agosto al 4 de septiembre de 2001

Nivel A

1

Construir la siguiente figura donde ABC, CDE y FGH son triángulos equiláteros; AEFH es un rectángulo y AC = CE = EF.

2

En la figura del problema 1, hallar la medida del segmento BG.

3

En la figura del problema 1, hallar el ángulo que forman las rectas BH y DF.

4

Sea ABCD un cuadrado, de área 30.
Sea P un punto en el lado AB tal que 2 . AP = PB.
Sea Q un punto en lado BC tal que BQ = QC.
Sea R un punto en lado AD tal que 2 . DR = RA.
La recta PQ corta a la recta CD en M y la recta PR corta a la recta CD en N.
Hallar el área del triángulo MNP.

5

Dado un cuadrado ABCD, construir un triángulo isósceles de igual área y con un lado igual al lado del cuadrado.

Nivel B

6

Sea ABCD un paralelogramo con <DAB agudo. La bisectriz de < DBC corta al lado CD en Q y a la recta AD en P. Si AD = DP, hallar la medida del ángulo <DQB.

NOTA: el símbolo <DAB significa "ángulo DAB".

7

Construir la siguiente figura formada por 4 circunferencias de igual radio, tangentes entre sí y tangentes a los lados del paralelogramo.

8

Si en el problema anterior el radio de las circunferencias es 1cm, hallar el área del paralelogramo.

9

Dado un cuadrado ABCD, construir un triángulo isósceles PQR de igual perímetro que ABCD y tal que la base de PQR mida la mitad de los otros dos lados.

Nivel C

10

Construir la siguiente figura, donde ABCD es un rectángulo, PQC es equilátero y 2 PD = PA.

11

Sea ABC un triángulo isósceles, de base AB = 10cm. Sean M y N son los puntos medios de los lados AC y BC respectivamente. Sea G el punto de intersección de BM y NA.

Si el ángulo AGB es recto, hallar el área de ABC.

12

Sean A, B, C y D cuatro puntos alineados tales que AB = BC = CD.
Sea P un punto del plano tal que 2 <APB = <BPC = 2 <CPD.

Hallar la medida del ángulo <APB.

13

Sean S y R dos circunferencias de centro O₁ y O₂ respectivamente. Sea P un punto en S. Se traza por P una paralela a O₁O₂, que corta a R en A y B. Las rectas PO₁ y AO₂ se cortan en un punto E.

Hallar el lugar geométrico de E al mover P sobre S.

15ta Competencia de Clubes Cabri
Primera Ronda

Carátula

Nombre del Club: ..............................................................................

Nivel: A   B   C
(Tachar lo que no corresponda)

Miembros que participan de esta ronda en el nivel indicado.

Reglamento

1. Esta prueba es de carácter no presencial. La fecha límite para que envíen las soluciones es el día martes 4 de septiembre de 2001.
2. Tienen que enviar en un disquete las construcciones pedidas, y en papel las demostraciones, razonamientos y cálculos realizados. Junto con la resolución de la prueba, deben entregar completa la caratula de ésta página.
3. Para comunicarse con nosotros:

   Personalmente o por carta,

   Clubes Cabri
   Fundación Olimpíada Matemática Argentina
   Santa Fe 3312 9º piso
   Capital Federal

   Por teléfono o fax, (011) 4826-6900

   Por correo electrónico: cabri@oma.org.ar

4. La interpretación de los enunciados corre por cuenta de los participantes. No se responderán preguntas.
5. Los resultados de esta ronda estarán disponibles el viernes 28 de septiembre. Para averiguarlos, deberán llamar a la Fundación Olimpíada Matemática Argentina, al teléfono 011 – 4826-6900 o a través de la página en Internet www.oma.org.ar. También serán enviados a través de la lista de mail [clubescabri].
6. Cualquier cuestión no contemplada en este reglamento, será resuelta por el comité de los Clubes Cabri.
7. La decisión del jurado es inapelable.

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