14ta Competencia de Clubes Cabri
Ronda Final

30 de junio de 2001

Nivel A

1

Dada una circunferencia y un punto A sobre la misma construir los puntos B y C sobre dicha circunferencia de modo que el triángulo ABC sea equilátero.

2

Un trapecio ABCD tiene los lados AB y CD paralelos y los ángulos DAB y ABC obtusos. Además se sabe que AB = 3, BC = 10, CD = 24 y AD = 17. Hallar el área de ABCD.

3

Construir la siguiente figura donde ACB = 135°, 2 BC = AC = 4, BCD = 60°, AC = CD y E es el punto medio de CD. Hallar la medida del ángulo ADB.

4

Hallar las áreas de los triángulos ABC, BCD y ACD.

Nivel B

5

Sea ABC un triángulo y M el punto medio de BC. Sea r = BC / AM. Hallar todos los valores de r para los cuales A es agudo y todos los valores de r para lo cuales A es obtuso.

6

Dado un triángulo ABC de área 12 construir un punto P en su interior tal que si la prolongación de AP interseca a BC en M entonces:

Área (ACP) = 3

Área (BPM) = 2

7

Sea ABC un triángulo. Construir un punto D tal que el perímetro de ABD es igual al perímetro de ABC y tal que ACB mide el doble de ADB.

8

Sean MQ un segmento y P un punto en el interior del mismo. Se traza la circuferencia C de centro Q que pasa por P. Sea T un punto sobre C. La mediatriz de PT interseca a MT en el punto A. Hallar el lugar geométrico de A a medida que T se mueve sobre C.

Nivel C

9

Sea S una circunferencia, A un punto fijo en el exterior de la circunferencia y sea P un punto sobre la circunferencia. Se traza la recta por A y P, que intersecta a la circunferencia S en P y en Q. Sea M el punto medio de PQ. Hallar el lugar geométrico de M al mover P sobre S.

10

Sea K una circunferencia y A y B dos puntos que están en el interior de la misma. Construir una recta t que interseque a la circunferencia K en los puntos P y Q de modo que AP y BQ sean perpendiculares a t.

11

Sea ABCDEF un hexágono tal que sus diagonales se cortan en un único punto P. Se sabe que:

• FC // ED
• Área(AFP) = 1
• Área(PEF) = 2
• Área(DEP) = 4
• Área(CDP) = 6
• Área(BCP) = 3.

Construir un hexágono que cumpla estas condiciones y hallar el área del hexágono.

12

Sea ABCD un cuadrilátero cíclico sin ningún par de lados paralelos entre sí, y sean P y Q en AC y BD respectivamente de modo que AP / PC = BQ / QD = AB / CD. Sean r y t las bisectrices de BAD y ABC respectivamente. Demostrar que r, t y PQ son concurrentes.

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