13^ra Competencia de Clubes Cabri
Ronda Final

11 de noviembre de 2000

Duración: 2.30hs

1

Construir la siguiente figura que tiene todos sus lados iguales y tiene ángulos internos de 75° y 300°.

2

Si AB = 1, hallar el área de la figura.

3

Sea PQR un triángulo de área 24 y tal que 2 PQ = QR. Sea M el punto medio de QR y sea N el punto medio de PM. Sabiendo que QN = 3, hallar la medida de los lados de PQR.

4

En la figura, ABC es un triángulo equilátero de lado 10 y PQRS es un cuadrado.

Hallar la longitud de PQ

5

Construir una triángulo ABC conociendo:

• La recta r que contiene al lado AB.
• El punto I que es la intersección que de las bisectrices de ABC.
• El punto D, que es el pie de la perpendicular desde B hasta AC.

6

Sea ABCD un cuadrilátero convexo y sea P un punto en la recta BC tal que B queda entre C y P. Se sabe que:

• área (ABCD) = área (CDP)
• los ángulos PDB y ACD son congruentes

¿Qué ángulo es mayor: ADC o BCD?

7

A partir de un triángulo ABC y un punto P en su interior se trazan las rectas que pasan por P y son paralelas a los lados del triángulo, formandose 3 paralelogramos y 3 triángulos mediante dichas rectas y los lados de ABC.

Se marcan los baricentros de las 6 figuras.

Probar que el área del hexágono con vértices en los 6 puntos marcados no depende de la posición de P. Hallar la relación entre el área del hexágono y el área de ABC.

Aclaración:
El baricentro de un triángulo es la intersección de sus medianas.
El baricentro de un paralelogramo es la intersección de sus diagonales.

8

Sea ABC un triángulo equilátero de lado 1. Sea M el punto medio de BC. Sea ADM un triángulo isósceles rectángulo en D, con D en el semiplano determinado por AM que contiene a C. Sea EAC un triángulo isósceles rectángulo en E, exterior a ABC.

Hallar la medida de ED.

9

Sea ABC un triángulo equilátero y sea P un punto en el segmento AB. La mediatriz de CP interseca a la recta paralela a AC por B, en el punto Q. Hallar el lugar geométrico del punto medio de PQ a medida que P se mueve sobre AB.

10

A partir de un triángulo ABC y un punto P en su interior se trazan las rectas que pasan por P y son paralelas a los lados del triángulo, formandose 3 paralelogramos y 3 triángulos mediante dichas rectas y los lados de ABC.

Se marcan los baricentros de las 6 figuras.

Probar que el área del hexágono con vértices en los 6 puntos marcados no depende de la posición de P. Hallar la relación entre el área del hexágono y el área de ABC.

Aclaración:
El baricentro de un triángulo es la intersección de sus medianas.
El baricentro de un paralelogramo es la intersección de sus diagonales.

11

Sea ABC un triángulo equilátero de lado 1. Sea M el punto medio de BC. Sea ADM un triángulo isósceles rectángulo en D, con D en el semiplano determinado por AM que contiene a C. Sea EAC un triángulo isósceles rectángulo en E, exterior a ABC.

Hallar la medida de ED.

12

Construir una triángulo ABC conociendo:

• La recta r que contiene al lado AB.
• El punto I que es la intersección que de las bisectrices de ABC.
• El punto D, que es el pie de la perpendicular desde B hasta AC.

13

Sea ABCD un cuadrado y P un punto sobre AB. Construir los puntos Q, R y S sobre BC, CD y DA respectivamente de modo que el perímetro de PQRS sea mínimo.

14

Sea AB un segmento y sea P un punto del plano distinto de A y de B. Hallar el lugar geométrico de los puntos Q tal que QA . QB = PA . PB.

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