10^ma Competencia de Clubes Cabri
Segunda Ronda

5 de junio de 1999

Duración: 2.30hs

1

Construir la siguiente figura, donde ABC es un triángulo equilátero y DEFG y GHIJ son cuadrados y el ángulo FGH es recto.

2

Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles, con Ð A = 90°. Construir un punto P en AB tal que la circunferencia de centro P, que pasa por A sea tangente a BC.

3

Sea ABC un triángulo, sea M el punto medio de AB y sea P el punto medio de CM. Sabiendo que CM = AB y que PA = 1 y PB = 2. Hallar la longitud de la altura desde C del triángulo ABC.

4

Sea ABC un triángulo cualquiera y sea M el punto medio de AB. Construir un triángulo isósceles DEF (DE = EF) que tenga igual área que ABC y de modo que la mediana de DEF correspondiente al lado DF sea igual a CM.

NOTA: la mediana de DEF correspondiente al lado DF es el segmento que une el punto medio de DF con el vértice E.

5

Sea ABC un triángulo y sean r y t las bisectrices de los ángulos Ð A y Ð B respectivamente. La recta que pasa por los puntos medios de AC y BC interseca a r y t en M y N respectivamente. Demostrar que la circunferencia circunscripta al triángulo CMN pasa por el incentro de ABC.

6

Sea ABC un triángulo y P un punto sobre AB. Sea M el punto medio de CP y sea N el punto medio de MA. Hallar el lugar geométrico de N a medida que P se mueve sobre el segmento AB.

7

Dado un triángulo PQR construir una circunferencia C que cumpla con las siguientes condiciones:

• C pasa por R y es tangente a PQ.
• Si D es la intersección entre C y PR (distinta de R) y E es la intersección de C y QR (distinta de R) entonces DE // PQ.

8

Construir un triángulo ABC que cumpla con las siguientes condiciones:

• Si D es el pie de la altura desde A entonces 2(AB + BD) = 3(DC + CA)
• Ð B = 30°

9

Dado el cuadrilátero convexo ABCD, sean M y N los puntos medios de AC y BD respectivamente. Sean O, P, Q y R los puntos medios de NA, MB, NC y MD respectivamente.

1. ¿Qué tipo de cuadrilátero es OPQR?
2. Hallar la razón entre las áreas de ABCD y OPQR.

10

Sea K una circunferencia y sean A, B y C puntos sobre ella. Sea r la bisectriz de <BAC, s la perpendicular a r que pasa por B y t la perpendicular a r que pasa por C. Sea P la intersección entre r y s. Sea Q la intersección entre r y t. Sea O el punto medio de PQ. Hallar el lugar geométrico de O a medida que A se mueve por K.

11

Sea ABC un triángulo acutángulo y sean D y E los pies de las alturas desde A y B respectivamente. Sabiendo que DE = 3 y AB = 5 hallar la suma de las áreas de los triángulos DEA y DEB.

12

Construir el triángulo ABC sabiendo que Ð A = 60° y que el perímetro del triángulo es igual a 4 veces la altura desde A.

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