10ma Competencia de Clubes Cabri
Primera Ronda

28 de abril al 5 de mayo de 1999

1

Construir la siguiente figura donde ABCD es un cuadrado y ABEFGH es un hexágono regular.

2

En la figura anterior, construir la circunferencia que tiene centro A y pasa por B.

1. ¿Cuáles de los puntos de la figura están sobre el borde de este círculo? Justificar la respuesta.
2. Si suponemos que el lado AB mide 1 cm, ¿Cuál es la superficie de la zona en común entre el círculo y el hexágono? Justificar la respuesta.

3

En la figura del problema (a), trazar la recta HD y EC y llamar M al punto en que se cortan. ¿Cuánto mide el ángulo Ð DMC? Justificar la respuesta.

4

Construir un triángulo ABC de manera que el ángulo Ð ABC mida 105° y el ángulo Ð BCA mida 15°.

5

Construir un cuadrado ABCD y un cuadrado EFGH de manera que la superficie del segundo sea 5 veces la superficie del primero.

6

Dado un triángulo ABC construir un cuadrado cuyo perímetro sea igual al perímetro del triángulo.

7

Construir la siguiente figura, donde ABCD es un cuadrado; el lado del triángulo equilátero es igual al diámetro de la circunferencia y DE = DH.

8

En la figura anterior, calcular la medida del ángulo Ð EFG. Justificar.

9

Dado un cuadrilátero convexo ABCD, construir un triángulo EFG, de manera que ambos polígonos tengan igual superficie; y uno de los ángulos del triángulo mida 45°.

10

Construir un triángulo ABC, de manera que si D es el pie de la altura correspondiente al lado AC y E es el pie de la altura correspondiente al lado AB, entonces CE mida las tres cuartas partes de lo que mide BC, y el ángulo Ð DBC mida 30°.

11

Construir la siguiente figura, donde los triángulos ABC y DEF son equiláteros; las cuatro circunferencias tienen igual radio y cada lado del triángulo DEF es tangente a dos de ellas.

12

Hallar la razón entre las áreas de los triángulos ABC y DEF.

13

Dado un triángulo ABC, construir un triángulo equilátero DEF, de manera que ambos triángulos tengan igual perímetro.

14

Dado un cuadrilátero convexo ABCD tal que el área de ABC es mayor que el área de ACD, trazar una recta que pase por A y que lo divida en dos partes de igual área.

15

En un triángulo ABC, el ángulo Ð CAB mide 60°. P es un punto en el interior del mismo y las rectas BP y CP cortan a AC y AB en D y E respectivamente. Si el ángulo Ð BPC mide 120° y PD = PE. Probar que la recta CE es la bisectriz del ángulo Ð ACB.

1. Esta prueba es de carácter no presencial. La fecha límite para que envíen las soluciones es el día miércoles 5 de mayo de 1999.
2. Tienen que enviar en un disquete las construcciones pedidas, y en papel las demostraciones, razonamientos y cálculos realizados.
3. Cuando manden las soluciones, avísennos por teléfono que las mandaron y por qué medio (personalmente, por correo, por mail...)

Para comunicarse con nosotros:

• Personalmente o por carta,

Clubes Cabri
Fundación Olimpíada Matemática Argentina
Santa Fe 3312 9º piso
Capital Federal

• Por teléfono o fax, (011) 4826-6900
• Por correo electrónico: cabri@oma.org.ar

4. La interpretación de los enunciados corre por cuenta de los participantes. No se responderán preguntas.
5. Los clubes clasificados para la 2^da ronda serán notificados por teléfono.
6. Cualquier cuestión no contemplada en este reglamento, será resuelta por el comité de los Clubes Cabri.
7. La decisión del jurado es inapelable

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