Los MateClubes
Olimpíada Matemática Argentina

Novena Competencia de MateClubes
Ronda Final

Primer nivel

Completar las nueve casillas de la figura con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (una vez cada uno) de forma tal que en cada casilla de la fila de abajo figure el dígito de las unidades de la multiplicación de los dos números de las casillas que tiene arriba.

Por ejemplo, si en las primeras dos casillas colocan 3 y 4, abajo deben colocar 2 (porque 3 x 4 = 12, termina en 2).

2

Alberto hace una lista de todos los números enteros mayores que 2345 y menores que 4322.

¿Cuántos números en la lista de Alberto tienen la suma de los dígitos igual a 10?

Por ejemplo, 2350 tiene la suma de los dígitos igual a 10, pero 2349 no.

3

Belén completa un tablero de 7 x 7 con números naturales del 1 al 10. (Puede haber números repetidos.)

Carlos tiene una ficha de 3 x 1, que puede rotar, como se ve en la figura.

Belén tiene que completar el tablero de forma tal que en cualquier lugar donde Carlos ponga la ficha, los tres números que cubra la ficha sumen siempre 10.

Luego, Carlos suma todos los números que escribió Belén en el tablero, y le da esa cantidad de caramelos a Belén.

¿Cuál es la mayor cantidad de caramelos que puede recibir Belén? ¿Cómo completa el tablero para conseguir esa cantidad? ¿Por qué no puede recibir más caramelos?

Segundo nivel

1

Completar las diez casillas con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (una vez cada uno) de forma tal que en cada casilla de la fila de abajo figure el dígito de las unidades de la multiplicación de los dos números de las casillas que tiene arriba.

Por ejemplo, si en las primeras dos casillas colocan 3 y 4, abajo deben colocar 2 (porque 3 x 4 = 12, termina en 2).

 2

Germán hace una lista de todos los números enteros mayores que 4122 y menores que 8102.

¿Cuántos números en la lista de Germán tienen la suma de los dígitos menor a 11?

Por ejemplo, 4123 tiene la suma de los dígitos menor a 11, pero 4124 no.

3

Hugo quiere completar los diez circulitos de la figura con números enteros del 1 al 20, sin repetir, de forma tal que el resultado de multiplicar cinco números en circulitos consecutivos sea siempre múltiplo de 9. (Los circulitos son consecutivos si están unidos por las líneas.)

Si quiere que el resultado de la multiplicación de los diez números que escribe en los circulitos sea lo menor posible, ¿qué números le conviene elegir? ¿Cómo puede completar la figura con esos números?

Tercer nivel

En la ciudad de Ana, todas las manzanas son cuadradas. Ella se encuentra parada en uno de los extremos de la ciudad, como se ve en la figura.

La ciudad continúa para arriba y para la derecha, pero no para abajo ni  para la izquierda. Las flechas indican la dirección de circulación de los autos en las calles. Siempre se alternan una calle en un sentido y la siguiente en el sentido contrario.

El club donde Ana practica voleibol se encuentra en otra esquina de la ciudad. La mamá la lleva a Ana en auto. Sabemos que para llegar tienen que andar menos de 21 cuadras. ¿Cuántas son todas las esquinas en las que puede estar ubicado el club?

(Como van en auto, tienen que respetar el sentido de circulación de las calles, no pueden ir en contramano.)

2

Un rectángulo ABCD está apoyado sobre el piso (en la posición 1). AB mide 5cm y BC mide 12cm. Tomás va volteando el rectángulo, haciéndolo avanzar, como se ve en la figura.

Hace voltear el rectángulo 99 veces. Si imaginamos que el punto A va dejando una marca por donde pasa, dibujando una curva, ¿cuál es la longitud de esa curva?

Por ejemplo, las flechas muestran las curvas que dibujan el punto B cuando el rectángulo pasa de la posición 1 a la posición 2 y el punto D cuando el rectángulo pasa de la posición 2 a la posición 3.

3

Hugo quiere completar los doce circulitos de la figura con números naturales del 1 al 20 (sin repetir), de forma tal que el resultado de la multiplicación de cinco números en circulitos consecutivos sea siempre múltiplo de 9. (Los circulitos son consecutivos si están unidos por las líneas.)

Si quiere que el resultado de la multiplicación de los doce números que escribe en los circulitos sea lo menor posible, ¿qué números le conviene elegir? ¿Cómo puede completar la figura con esos números?

Cuarto nivel

1

En la ciudad de Paula, todas las manzanas son cuadradas. Paula se encuentra parada en una esquina, en uno de los bordes de la ciudad, como se ve en la figura.

La ciudad continúa para arriba y hacia los costados, pero no para abajo. Las flechas indican la dirección de circulación de los autos en las calles.
Siempre se alternan una calle en un sentido y la siguiente en el sentido contrario.

El club donde Paula practica hockey se encuentra en otra esquina de la ciudad. La mamá la lleva a Paula en auto. Sabemos que para llegar, tienen que andar menos de 31 cuadras. ¿Cuántas son todas las esquinas en las que puede estar ubicado el club?

(Como van en auto, tienen que respetar el sentido de circulación de las calles, no pueden ir en contramano.)

2

En el kiosco, los chocolates cuestan $1. Ramiro dice un número natural del 1 al 1000. El papá de Ramiro multiplica ese número por 2/5 y le da esa cantidad de pesos a Ramiro. Con esa plata, Ramiro se compra todos los chocolates que puede y le devuelve el vuelto al papá.

Después, la abuela de Ramiro multiplica el número de Ramiro por 2 y le da esa cantidad de pesos a Ramiro. Con esa plata, Ramiro se compra todos los chocolates que puede.

Por ejemplo, si Ramiro dice 6, el papá le da $2,40 y Ramiro se compra 2 chocolates. Luego, la abuela le da $12 y se compra 12 chocolates. Junto con los que se compró con la plata que le dio el papá, obtuvo en total 14 chocolates.

¿Cuántos son todos los números que puede decir Ramiro (entre 1 y 1000) para que la cantidad de chocolates que obtenga sea múltiplo de 3?

3

Belén completa un tablero de 50 x 50 con números naturales del 1 al 10. (Puede escribir números repetidos.)

Carlos tiene una ficha de 4 x 1, que puede rotar, como se ve en la figura.

Belén tiene que completar el tablero de forma tal que en cualquier lugar donde Carlos ponga la ficha, los cuatro números que cubra la ficha sumen siempre 10. (La ficha puede colocarla horizontal o vertical, siempre cubriendo exactamente cuatro casillas.)

Luego, Carlos suma todos los números que escribió Belén en el tablero, y le da esa cantidad de caramelos a Belén.

¿Cuál es la mayor cantidad de caramelos que puede recibir Belén? ¿Cómo completa el tablero para conseguir esa cantidad? ¿Por qué no puede recibir más caramelos?

Los MateClubes Competencias	Olimpíada Matemática Argentina    www.oma.org.ar
mensajes mateclubes@oma.org.ar