Los MateClubes
Olimpíada Matemática Argentina

Octava Competencia de MateClubes
Ronda Final

Primer nivel

Alfredo quiere completar la pirámide con números naturales de forma tal que el número en cada cuadradito sea igual a la suma de los dos cuadraditos de abajo.

¿De cuántas formas puede hacerlo?

Por ejemplo, en la pirámide de la izquierda, 15 más el número en la casilla B debe ser igual al número en la casilla A.

Aclaración: Los números naturales son los números 1, 2, 3, 4, 5, …

2

Beatriz mira las hojas de un calendario de 2006. Por ejemplo, la hoja del mes de marzo es la siguiente:

La suma de los números en la columna del lunes es 6 + 13 + 20 + 27 = 66.

a) Si calcula la suma de cada columna en todas las hojas del año, ¿qué múltiplos de 3 obtiene?

b) Si busca en todas las hojas de todos los años desde 2006 a 2010, ¿cuántas veces aparece cada uno de los múltiplos de 3 obtenidos?

Recordar que en 2008, febrero tendrá 29 días, mientras que en todos los demás años, febrero tiene 28 días.

3 

En Matelandia todas las manzanas son rectangulares, pero las cuadras tienen largos distintos.

· Natalia va desde A hasta B y recorre 670 metros.

· Ignacio va desde E hasta C y recorre 420 metros.

· Nicolás va desde E hasta F y recorre 370 metros.

Si Tomás va desde A hasta D por las calles, caminando lo menos posible. ¿Cuántos metros recorre?

Segundo nivel

1  

En la librería de Pedro venden biromes y lápices. Las formas de comprar son las siguientes:

- Una birome suelta cuesta $ 1,25

- Un lápiz suelto cuesta $ 0,60

- Juego de 10 biromes cuesta $ 11 y trae 2 lápices de regalo

Si Juan quiere ir a la librería de Pedro y necesita 98 biromes y 53 lápices, ¿cuál es la forma de comprarlos gastando la menor cantidad de plata posible?

2 

Beatriz mira las hojas de un calendario de 2006. Por ejemplo, la hoja del mes de marzo es la siguiente:

La suma de los números en la columna del lunes es 6 + 13 + 20 + 27 = 66.

1. Si calcula la suma de cada columna en todas las hojas del año, ¿qué múltiplos de 5 obtiene?
2. Si busca en todas las hojas de todos los años desde 2006 a 2010, ¿cuántas veces aparece cada uno de los múltiplos de 5 obtenidos?

Recordar que en 2008, febrero tendrá 29 días, mientras que en todos los demás años, febrero tiene 28 días.

3 

Tenemos dos figuras A y B formadas por cuadraditos. La figura A la dejamos quieta mientras que la B la podemos mover en sentido vertical y horizontal, y la apoyamos sobre la A. ¿Cuál es la mayor cantidad de cuadraditos de la figura A que podemos cubrir por completo con la figura B?

A                           B

Tercer nivel

Miguel quiere pintar la siguiente pieza con pintura azul. Miguel sabe que 1 litro de pintura alcanza para pintar 1m² de superficie. Los palitos tienen base cuadrada y cada lado de la base mide 50cm. Averiguar cuántos litros de pintura necesita Miguel para pintar la pieza completamente.

2 

El equipo Estrella organiza una obra de teatro para recaudar fondos para viajar a Cosquín. La entrada cuesta 75 centavos para adultos y 25 centavos para menores. En total, recaudan $330 con la venta de entradas.

En el salón entran 600 personas, pero no se llena.

¿Cuál es la menor cantidad de adultos que pudo haber ido a la obra de teatro?

3 

Marita arma un torneo de fútbol “MateClubes” con 6 equipos. Juegan todos contra todos con los siguientes puntajes:

- Partido ganado 2 puntos

- Partido perdido 0 puntos

- Partido empatado 1 punto para cada equipo

Marita quiere saber cuál es el máximo puntaje que puede obtener el equipo que sale en el tercer puesto. ¿La ayudás a resolverlo?

Nota: ningún equipo empata en puntaje con otro.

Cuarto nivel

1  

Martín escribe 7 números a, b, c, d, e, f, g en el pizarrón. Quiere que la suma de todos sea 93 y que a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ f ≤ g. También quiere que por lo menos 3 de ellos sean números naturales. Hallar el menor valor posible que puede darle a g.

2 

El siguiente diagrama está formado por dos cuadrados. A se mueve hacia abajo, avanzando 2cm cada minuto. B se mueve hacia arriba, avanzando 5cm por minuto. A y B parten al mismo tiempo. ¿Después de cuántos segundos ABC será un triángulo isósceles?

Nota: ABC isósceles con AB = BC

3 

Carlos quiere escribir todos los números del 100 al 999 que cumplan con la condición de que un dígito sea el promedio de los otros dos.

Por ejemplo: 564 es uno de ellos ya que 5 es el promedio entre 6 y 4

876 es uno de ellos ya que 7 es el promedio entre 8 y 6

444 es uno de ellos ya que 4 es el promedio entre 4 y 4

¿Cuántos números podrá escribir Carlos?

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