Los MateClubes
Olimpíada Matemática Argentina

Final de MateClubes 2002
Enunciados

Primer nivel

1 

En un tablero, Rafa pinta algunas casillas de blanco y otras de negro, como se ve en la figura 1.

Figura 1

Figura 2

Luego Betty elige una fila o una columna y cambia el color de todas las casillas. Si eran blancas pasan a ser negras y si eran negras pasan a ser blancas.

Betty hace lo mismo varias veces eligiendo distintas filas y columnas hasta llegar a la figura 2.

Muestra cómo pudo hacer Betty para lograrlo.

2

En un torneo de hockey hay 16 equipos divididos en dos grupos de 8 equipos. En la primera etapa cada equipo juega un partido contra los demás equipos de su grupo. En la segunda etapa cada equipo juega una vez contra cada uno de los equipos del otro grupo. En la tercer etapa juegan nuevamente un partido contra cada uno de los equipos de su grupo. Al finalizar las 3 etapas, ¿cuántos partidos se jugaron en total?

3

Betty hace una lista de 6 números tal que la diferencia entre dos números consecutivos es siempre la misma. Por ejemplo, puede escribir los números 2 - 5 - 8 - 11 - 14 - 17.

Mario hace otra lista de 6 números con la misma propiedad y Rafa copia esa lista en su cuaderno. Esto es lo que escribió Rafa en su cuaderno:

11 - 25 - 32 - 37 - 46

Cuando Mario lee esos números descubre que falta uno de los números de su lista. Y no sólo eso. Además, ¡uno de los números está mal copiado! Con esta información, ¿podés descubrir cuál es la lista original que había pensado Mario?

Segundo nivel

1 

Delfina quiere llegar desde A hasta B caminando por los bordes de los cuadrados, de forma que a su izquierda siempre tenga un cuadrado sombreado. Si quiere hacerlo caminando lo menos posible, ¿cómo debe hacerlo?

2

Mario hace un triángulo de números impares. En cada fila coloca un número más que en la fila anterior.

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

21 23 25 27 29

31 33 ...               

Si hace un triángulo de 70 filas, ¿cuál es el tercer número de la 70ª fila?

3

Desde Alandia hasta Zetalandia hay 999 kilómetros. En el camino ponen carteles cada 1 kilómetro indicando las distancias a las dos ciudades: (0 ; 999), (1 ; 998), (2 ; 997), ..., (999 ; 0)

¿En cuántos de esos carteles van a aparecer exactamente 3 dígitos distintos?

Tercer nivel

1 

El cuerpo de la figura está formado por 7 cubos iguales. El volumen total es de 448cm³. ¿Cuál es la superficie total del cuerpo?

2

Mario hace un triángulo de números. En cada fila coloca dos número más que en la fila anterior.

Si sigue así hasta llegar al número 2003, ¿en qué fila va a quedar ubicado el número 2003?

3

La abuela de Rafa hace una alfombra con formas rectangulares.

El rectángulo más grande mide 360cm x 240cm. Los lados de todos los rectángulos son enteros y todos los rectángulos tienen la misma proporción (es decir que el lado mayor dividido por el lado menor da siempre el mismo resultado).

¿Cuáles son las medidas del rectángulo más chico? Dar todas las posibilidades.

Cuarto nivel

1 

Un grupo de estudiantes decide comprar un libro entre todos. A último momento dos de los estudiantes deciden no aportar para la compra. Por lo tanto, los demás estudiantes deben pagar un $1 más cada uno. El libro cuesta una cantidad entera de pesos, entre 100 y 120 ¿Entre cuántos estudiantes compraron el libro?

2

La figura está compuesta de 9 cuadrados iguales, de lado 10. Se quiere trazar un segmento desde A hasta un punto X en el segmento PQ de forma que la figura quede partida en dos regiones de igual área. ¿A qué distancia del punto P hay que tomar el punto X?

3

En un tablero, Rafa pinta algunas casillas de blanco y otras de negro, como se ve en la figura.

Luego Betty elige una fila o una columna y cambia el color de todas las casillas. Si eran blancas pasan a ser negras y si eran negras pasan a ser blancas.

Betty hace lo mismo varias veces eligiendo distintas filas y columnas.

¿Cuál es la mayor cantidad de casillas que pueden quedar pintadas de negro? Muestra cómo lograrlo y explica por qué no puede haber más.

Enunciados en formato Word. (Si va a imprimir los enunciados, utilice este archivo.)

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