En el aprendizaje es importante construir imágenes internas, muchas veces gráficas, de los conceptos abstractos.

Por ejemplo, para llegar a la idea de “línea recta” empezamos dibujándola con regla y lápiz, vemos ejemplos de cosas curvas o irregulares y pensamos en un “hilo muy finito que no se ve y que no se tuerce” antes de llegar a adquirir el concepto abstracto.

La imagen construida puede variar de acuerdo a la persona, quien la adaptará a su gusto. La imagen de la línea recta podrá ser un hilo finito, o una raya gris que tal vez tenga un par de puntos marcados con cruces.

Más aún, una misma persona posiblemente use distintas imágenes según el contexto. Así, cuando hablamos de función podemos pensar en flechas que van de un globo a otro o en el gráfico de una curva en el plano.

A veces en la enseñaza se introducen —un poco abruptamente— conceptos matemáticos sin tener en cuenta que pocas personas tienen la mente preparada para asimilar ideas abstractas sin haber hecho una elaboración previa.

Sorprendentemente, la recíproca también es cierta: algunas personas pueden entender el concepto abstracto pero no relacionarlo con un ejemplo concreto. Todos los años encuentro alumnos universitarios que entienden perfectamente la definición abstracta de la división entera como “dados $a$ y $b$ enteros positivos existen enteros $q$ y $r$, $0\le r < b$, tales que $a = qb + r$”, pero tienen dificultades en relacionarla con las restas sucesivas (“poner botellas en el carrito mientras me alcance el dinero”).

Claro que hay objetos matemáticos que no tienen una representación sencilla con la que se pueda trabajar, como los números primos.

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En ocasiones se pide a los estudiantes hacer cálculos o ejercicios rutinarios. Esto no se ve con buenos ojos por un grupo de educadores para quienes todo debe ser “creativo”, si no decididamente recreativo, y la enseñanza debe casi reducirse a la resolución de problemas para “construir” el conocimiento.

Ni tanto ni tan poco.

Es común ver estudiantes universitarios que no pueden “despejar la incógnita” en una expresión sencilla, y se me ocurre que no tendrían dificultades si hubieran practicado lo suficiente en su momento. ¿Es necesario hacer esa ejercitación siempre dentro de la resolución de un problema? Seguramente para unos pocos no será necesario, pero para el resto de nosotros...

Para dominar el fútbol o el piano es necesario repetir una y otra vez los mismos movimientos, ¿cuán diferente es el caso de matemáticas?

Interpretándola más que superficialmente, hay una parte de la filosofía oriental que sostiene que para entender cualquier cosa —y no sólo matemática— es necesario repetirla una y otra vez “hasta que entre”. Así, una de las formas de aprender los números naturales es la de “secuenciación” repitiendo “uno, dos, tres,...”, para después pasar a la idea de conjuntos coordinables.

No sería sorprendente que se crea o entienda la definición de división entera que mencionamos en el apartado sobre abstracción, justamente por haber hecho previamente muchas veces el cálculo de $q$ y $r$ para distintos valores de $a$ y $b$.

También usamos repetición para aprender el abecedario. Incluso algunos autores van más allá y consideran que la matemática es un lenguaje, lo que parece una reducción extrema.

Con el fútbol o el piano el estudiante sabe cuál es el propósito de sus esfuerzos porque ha visto fútbol o escuchado piano con anterioridad. En cambio, en matemáticas muchas veces se enseñan técnicas o resultados sin saber “de dónde vienen ni a dónde van”, lo que naturalmente produce rechazo.

En fin, otra diferencia es que en el fútbol o en el piano se continúa “para siempre” con los ejercicios rutinarios, pero no es necesario repetir todos los dias el abecedario o contar “uno, dos, tres,...”.

Aunque algunas veces contar hasta diez calma los nervios.

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La mayoría de las veces se enseñan procedimientos o ideas que no se usarán después del curso donde se las aprendió.

Esto no es necesariamente malo y pasa aún a nivel universitario: pocos ingenieros usan integrales en su trabajo, y muchos menos usan técnicas de integración. No obstante, dudo que haya alguien pensando en eliminar el estudio de integrales en las ingenierías.

Si bien hoy en día parece inútil enseñar a usar las tablas de logaritmos, el aprendizaje de distintos temas matemáticos en los niveles escolares forma parte de la educación del ciudadano, quien no debe ignorar que gran parte de nuestra vida diaria está determinada por el uso de las matemáticas: la casa donde vivimos y el “home-banking” no existirían sin las herramientas matemáticas.

Eso no quiere decir que todo el mundo deba ser arquitecto o ingeniero o siquiera entender las complejidades de las conexiones seguras. Más aún, es tal la variedad y profundidad de las matemáticas que intervienen en nuestras vidas que nadie puede conocerlas a todas.

En estos últimos años se han agregado términos como “apreciación” y “visibilidad” al tradicional “difusión”, para resaltar este importante aspecto en la educación: “la matemática está en todas partes” es una frase reiterada y algo cursi, pero con gran parte de verdad.

No sólo presentar aplicaciones concretas de la matemática es importante, también culturalmente es bueno conocer el “pensamiento matemático”, como quien estudia dibujo: no sólo es bueno conocer pintores y sus obras sino también dibujar (aunque no tengamos alma de artista). Claro que no podemos reducirnos sólo a una ejercitación rutinaria.

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El rápido cambio de la tecnología nos empuja a cambios continuos.

Ya no es posible dominar un gran abanico de posibilidades, debemos concentrarnos en unas pocas. Piensen, por ejemplo, en cuántos de nosotros conoce a fondo un programa tan popular como MS-Word que estuvo en el mercado desde 1983. Ni hablar de programas como Mathematica.

Esto nos lleva a dos temas: el famoso “menos es más” y estar dispuestos a un continuo aprendizaje, tal vez descartando conocimientos anteriores. Para el examen de ingreso a la secundaria aprendi a calcular con lápiz y papel raíces cúbicas, y ya en la secundaria aprendí a usar tablas de logaritmos interpolando entradas: nunca más volví a usarlos.

Por supuesto, esto se relaciona con la utilidad que ya mencionamos, y quizás más a la percepción de la sociedad, que cambia sus costumbres y cultura siguiendo a los cambios tecnológicos.

Desde ya, los cambios en los contenidos van a un ritmo mucho más lento que los cambios tecnológicos. ¿Cuántos años pasaron antes de la adopción de la calculadora en el aula?, ¿cuántos pasarán antes de adoptar la computadora (o tableta o aún el celular) en la enseñanza de matemática?

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Cuando hay que dar año tras año los mismos contenidos, muchas veces se pierde el entusiasmo por lo que se enseña. Y no cabe duda que el aburrimiento del docente se transmite a los estudiantes.

Aunque ya mencionamos que los cambios curriculares siguen desde atrás a los cambios tecnológicos, últimamente vemos que se van actualizando con mayor frecuencia, justamente arrastrados por los vertiginosos avances tecnológicos.

En realidad, el problema no es que el docente tiene que repetir los mismos contenidos, sino por el contrario, que literalmente no tiene tiempo de dominar los nuevos contenidos que van apareciendo, y debe seleccionar lo que va ha hacer.

Se me ocurre que una forma de mantenerse satisfecho como docente es ir estudiando distintos temas, cambiando periódicamente aunque sea una mínima parte de los contenidos que enseña.

¿Y cuáles contenidos elegir? Bueno, hay muchas cosas en internet y desde ya que la OMA ofrece cursos que no están enfocados hacia problemas de olimpíadas matemáticas.

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La enseñanza de la matemática, aún la elemental, no debería estar separada de las aplicaciones computacionales. Al menos un conocimiento básico de programación (condicionales, lazos, listas) parecería necesario. Sí, programar es más complicado que usar la calculadora.

Pero así como en los niveles iniciales se debe familiarizar al alumno con las propiedades del espacio físico que lo rodea, las computadoras (y tabletas y celulares) forman parte de la sociedad y deben mirarse tanto como una herramienta como un objeto de estudio.

La regla y el compás son herramientas y no es difícil entender cómo funcionan. ¿Cómo funciona la computadora?, ¿qué cosas hace allí adentro para resolver problemas?

No me extenderé más, sobre este tema he escrito en varias oportunidades (ver por ejemplo La computadora y la educación matemática o Viejas ideas que siguen vigentes).

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Atendiendo a varios de los puntos anteriores, si no a todos, se han planteado planes de estudio alternativos, como algunos que integran ciencias, tecnología, ingeniería y matemáticas (STEM: Science, Technology, Engineering, Mathematics), tratando de sacar a la enseñanza de la matemática de su aislamiento, y yendo más allá de sus socios tradicionales como la física.

A estos espacios curriculares que se están desarrollando posiblemente habría que agregarles algunos relacionados con otras áreas como economía, en la que se puede hablar de teoría de juegos o sistemas electorales.

La interfaz entre estas áreas concretas y las matemáticas se da a través de modelos matemáticos, abstracciones que tratan de aproximar la realidad tomando las partes más relevantes.

De ahí que sea de importancia estudiar no sólo las herramientas matemáticas sino también el mismo proceso de modelización.

Aunque muchos desarrollos matemáticos provienen de resolver y entender modelos, hay excepciones destacadas como la codificación, compresión y encriptado de datos, temas acuciantes a partir de la gran cantidad de datos a los que tenemos acceso actualmente.

Un libro especialmente interesante es “For all practical purposes” de COMAP, cuya tercera edición fue traducida al castellano bajo el título “Las matemáticas en la vida cotidiana” (1999).

Este libro tiene una introducción sencilla a temas de investigación operativa (que la versión en castellano llama «ciencias de la administración»), estadística, codificación, elección social, y forma y tamaño.

COMAP es un grupo que inició sus tareas hacia 1980, y es dirigido desde entonces por Sol Garfunkel, reconocido líder mundial en acercar la realidad a la enseñanza de la matemática. Mayores precisiones pueden encontrarse en la descripción del premio ISDDE que recibió Garfunkel en 2015.

COMAP también inició una serie de competencias en modelos matemáticos, ampliamente copiadas internacionalmente. Actualmente está el International Mathematical Modeling Challenge, competencia destinada a estudiantes de secundaria, co-organizado por COMAP. Para resolver los problemas se requieren conocimientos de matemáticas y otras disciplinas.

Tratando de incorporar estas tendencias a la enseñanza en nuestro país, la OMA organizó el seminario La matemática en la vida cotidiana.

En su primera versión este seminario se enfocará sobre modelos con grafos y relaciones con programación lineal, tomando como punto de partida el libro de COMAP ya mencionado.

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