Version: Vietnamese

Ngày thu nhât

Mar del Plata, Argentine - 24 tháng bay 1997

1. Trên m{ă \atop .}t phăng, các diêm vói to.a d{ô \atop .} nguyên là dinh cua các hình vuông don vi.. Các hình vuông duo.c lân luo.t tô màu trăng và den (nhu trên bàn cò vua).

Voi môi c{ă \atop .}p sô nguyên duong m và n, xem m{ô \atop .}t tam giác vuông vói các dinh có toa. d{ô \atop .} nguyên, các ca.nh góc vuông có d{ô \atop .} dài m và n, di theo các ca.nh các hình vuông.

Go.i S_{1} là toàn b{ô \atop .} di{ê \atop .}n tích phân trăng cua tam giác và S_{2} là toàn b{ô \atop .} di{ê \atop .}n tích phân

den. D{ă \atop .}t

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Hãy tính f(m, n) cho các sô nguyên duong m và n cùng chăn hay cùng le.

(b) Hãy chung minh f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} vói mo.i m và n.

(c) Hãy chung to không tôn ta.i m{ô \atop .}t hăng sô C sao cho f(m, n) < C vói mo.i m và n.

2. Góc A là góc nho nhat trong tam giác ABC. Các diêm B và C chia duong tròn ngoa.i tiêp cua tam giác thành hai cung. Lây U là m{ô \atop .}t diêm trong cua cung chăn boi B và C không chua A.

Các duong trung tru.c cua các doa.n AB và AC căt duong thăng AU theo thu tu. ta.i V và W. Các duong thăng BV và CW căt nhau ta.i T.

Chung minh

AU = T B + T C.

3. Gia su x_{1}, x_{2}, …, x_{n} là nhung sô thu.c thoa man các diêu ki{ê \atop .}n

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

và

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} voi i = 1, 2, …, n.

Hãy chung to răng tôn ta.i m{ô \atop .}t hoán vi. y_{1}, y_{2}, …, y_{n} cua x_{1}, x_{2}, …, x_{n} sao cho

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Môi bài toán duo.c dánh giá 7 diêm. Thoi gian: 4\frac{1}{2} gio.