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Segundo día
Mar del Plata, Argentina - 25 de julio de 1997

4

Una matriz n x n (es decir, un tablero cuadrado de n filas y n columnas) se rellena con números del conjunto S={1, 2, ... , 2n - 1}, Tal tablero se llama matriz de plata si, para cada i = 1, ... , n, la i-ésima fila y la i-ésima columna juntas contienen todos los números del conjunto S. Demostrar que:

(a) No existe ninguna matriz de plata para n = 1997;

(b) Existen matrices de plata para infinitos valores de n.

5

Determinar todas las parejas (a,b) de enteros a 1, b 1 que satisfacen la ecuación

a^(b2) = b^a.

6

Para cada entero positivo n , sea f(n) el número de formas en que se puede representar a n como suma de potencias de 2 con exponentes enteros no negativos.

Las representaciones que difieren únicamente en el orden de sus sumandos se consideran iguales. Por ejemplo f(4)=4, porque 4 puede ser representado en las cuatro siguientes formas:

4; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1.

Probar que, para todo entero n 3:

2^n2/4 < f(2ⁿ) < 2^n2/2.