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2. Tag
Mar del Plata, Argentinien - 25. Juli 1997

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Eine n x n Matrix mit Einträgen aus der Menge S = {1, 2, ... , 2n - 1}, heisst silberne Matrix, falls für jedes i = 1, ... , n, die i-te Zeile und die i-te Spalte zusammen alle Elemente von S enthalten

Man zeige:

(a) Es gibt keine silberne Matrix für n = 1997;

(b) Silberne Matrizen gibt es für unendlich viele Werte von n.

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Man finde alle Paare (a,b) ganzer Zahlen mit a 1, b 1 die die Gleichung

a^b2 = b^a.

erfüllen !

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Für jede positive ganze Zahl n bezeichne f(n) die Anzahl der Möglichkeiten, n als Summe von Potenzen von 2 mit nichtnegativen ganzzahligen Exponenten darzustellen.

Darstellungen, welche sich nur in der Reihenfolge der Summanden unterscheiden, werden als gleich betrachtet. Zum Beispiel ist f(4)=4, da sich die Zahl 4 auf die folgenden vier Arten darstellen lässt:

4; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1.

Man beweise, dass für jede ganze Zahl n 3:

2^n2/4 < f(2ⁿ) < 2^n2/2.