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Deuxième Jour
Mar del Plata, Argentine - 25 Juillet 1997

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Une matrice carrée à n lignes et n colonnes, à éléments dans l'ensemble S = {1, 2, ... , 2n - 1}, est appelée une matrice d'argent si, pour tout i = 1, ... , n, la réunion de la i-ème ligne et de la i-ème colonne contient tous les éléments de S. Montrer que:

(a) il n'existe pas de matrice d'argent pour n = 1997;

(b) il existe des matrices d'argent pour une infinité de valeurs de n.

5

Trouver tous les couples (a,b) d'entiers a 1, b 1 vérifiant l'équation:

a^(b2) = b^a.

6

Pour tout entier strictement positif n , f(n) désigne le nombre de façons de représenter n comme une somme de puissances de 2 à exposants entiers positifs ou nuls.

Deux représentations qui ne diffèrent que par l'ordre des termes de la somme sont considérées comme les mêmes. Par exemple f(4)=4, car le nombre 4 peut être représenté par les quatre façons suivantes:

4; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1.

Montrer que, pour tout entier n 3:

2^n2/4 < f(2ⁿ) < 2^n2/2.