para todo m y n.
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Primer día
Mar del Plata, Argentina - 24 de julio de 1997
1
En el plano, los puntos de coordenadas enteras son los vértices de cuadrados unitarios. Los cuadrados se colorean alternadamente de blanco y negro (como los del tablero de ajedrez).
Para cada par de enteros positivos m y n, se considera un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos, de longitudes m y n, están sobre los lados de los cuadrados.
Sean S1 el área total de la región negra del triángulo y S2 el área total de su región blanca. Sea
f(m,n) = | S1 - S2 |.
(a) Calcular f(m,n) para todos los enteros positivos m y n que son, o bien ambos pares, o bien ambos impares.
(b) Probar que
para todo m y n.
(c) Demostrar que no existe ninguna constante C tal que f(m,n) < C para todo m y n.
2
El ángulo A es el menor de los ángulos del triángulo ABC.
Los puntos B y C dividen a la circunferencia circunscrita del triángulo en dos arcos. Sea U un punto interior del arco BC que no contiene a A.
Las mediatrices de AB y AC cortan a la recta AU en V y W, respectivamente. Las rectas BV y CW se cortan en T.
Demostrar que
AU = TB + TC.
3
Sean x1, x2, ... , xn números reales que verifican las condiciones:
|x1 + x2 + ... + xn | = 1
y
para i = 1, 2, ... , n.
Demostrar que existe una reordenación (o permutación) y1, y2, ... , yn de x1, x2, ... , xn tal que
.