für alle m und n gilt !
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1. Tag
Mar del Plata, Argentinien - 24. Juli 1997
1
In der Ebene sind die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten die Ecken von Einheits-quadraten. Die Quadrate sind abwechselnd schwarz und weiss gefärbt (wie auf einem Schachbrett).
Zu jedem Paar positiver ganzer Zahlen m und n, betrachte man ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Ecken ganzzahlige Koordinaten haben und dessen Katheten, die die Längen m und n, haben, auf Quadratseiten liegen.
Es seien S1 die Gesamtfläche des schwarzen Teils und S2 die Gesamtfläche des weiss en Teils dieses Dreiecks. Es sei
f(m,n) = | S1 - S2 |.
(a) Man berechne f(m,n) für alle positiven ganzen Zahlen m und n , welche entweder beide gerade oder beide ungerade sind !
(b) Man beweise, dass
für alle m und n gilt !
(c) Man zeige, dass es keine Konstante C gibt, so dass f(m,n) < C für alle m und n gilt !
2
Es sei <BAC der kleinste Winkel im Dreieck ABC.
Die Punkte B und C teilen den Umkreis des Dreiecks in zwei Bögen. Es sei U ein innerer Punkt des Bogens zwischen B und C, der nicht A enthält.
Die Mittelsenkrechten von AB und AC schneiden die Gerade AU in den Punkten V bzw. W. Die Geraden BV und CW schneiden sich in T.
Man zeige, dass gilt:
AU = TB + TC.
3
Es seien x1, x2, ... , xn reelle Zahlen, die die folgenden Bedingungen erfüllen:
|x1 + x2 + ... + xn | = 1
und
für i = 1, 2, ... , n.
Man zeige, dass eine Permutation y1, y2, ... , yn von x1, x2, ... , xn existiert, so dass gilt:
.