Version: French
Premier Jour
Mar del Plata, Argentine - 24 Juillet 1997
1
Dans le plan, les points à coordonnées entières sont les sommets de carrés unités. Les carrés sont coloriés alternativement en blanc et en noir (comme sur un échiquier).
Pour tout couple d'entiers strictement positifs m et n, on considère un triangle rectangle dont les sommets sont des points à coordonnées entières et dont les côtés de l'angle droit, de longueurs m et n, suivent les côtés des carrés.
Soit S1 l'aire totale de la partie noire du triangle et S2 l'aire totale de sa partie blanche. On pose:
f(m,n) = | S1 - S2 |.
(a) Calculer f(m,n) pour tous les entiers strictement positifs m et n qui sont tous deux pairs ou tous deux impairs.
(b) Montrer que pour tout m et n: .
(c) Montrer qu'il n'existe pas de constante C telle que, pour tous m et n, f(m,n) < C.
2
L'angle A est le plus petit dans le triangle ABC.
Les points B et C divisent le cercle circonscrit au triangle en deux arcs. Soit U un point intérieur à l'arc limité par B et C qui ne contient pas A.
Les médiatrices des segments AB et AC rencontrent la droite AU respectivement en V et W. Les droites BV et CW se coupent au pointT.
Montrer que:
AU = TB + TC.
3
Soient x1, x2, ... , xn des réels vérifiant les conditions suivantes:
|x1 + x2 + ... + xn | = 1
et
pour i = 1, 2, ... , n.
Montrer qu'il existe une permutation y1, y2, ... , yn de x1, x2, ... , xn telle que
.