1era Ronda Olimpíadas Regionales 
Torneo: Urbana - Metropolitana - 2011

Primer Nivel

En la figura hay dos cuadrados; además hay un círculo en cada vértice y en cada punto donde se cruzan los dos cuadrados. Ubicar en los círculos vacíos los números enteros de 1 a 9 inclusive, sin repetir, de manera que la suma de los cuatro números escritos en cada lado de cada cuadrado sea siempre la misma.

Hay 16 números enteros positivos consecutivos escritos en el pizarrón. Ana calcula la multiplicación de todos los números y Leo calcula la suma de todos los números.

a) Determinar si es posible que los últimos tres dígitos del resultado de Ana sean los mismos y en el mismo orden que los últimos tres dígitos del resultado de Leo.

b) Determinar si es posible que los últimos cuatro dígitos del resultado de Ana sean los mismos y en el mismo orden que los últimos cuatro dígitos del resultado de Leo.

(En cada caso, si la respuesta es afirmativa, indicar un ejemplo, y si es negativa, justificar el porqué.)

Sea ABCD un cuadrilátero con sus ángulos  y  mayores que 90º, y sea O el punto de intersección de sus diagonales. Consideramos M en el segmento AO tal que BM es paralelo a CD, y N en el segmento DO tal que CN es paralelo a AB. Demostrar que el área del triángulo AMN es igual al área del triángulo DMN.

Segundo Nivel

Ale escribió un número n de cuatro dígitos divisible por 7 y tal que el número de cuatro dígitos que se obtiene al escribir los dígitos de n en orden inverso sea mayor o igual que n y sea también divisible por 7. Además, los dos números tienen el mismo resto en la división por 37.
Calcular los números que puede haber escrito Ale.
ACLARACIÓN: Los dígitos de n no son necesariamente distintos.

Se tienen 8 cubitos blancos, de arista 1. Mariano tiene que pintar 24 caras de cubitos de azul y 24 caras de cubitos de rojo. A continuación, Leonel tiene que armar con estos cubitos un cubo de . Si la superficie del cubo de  tiene la misma cantidad de cuadraditos azules que de rojos, gana Leonel. Si no, gana Mariano.
Determinar si Mariano puede pintar los cubitos de modo que a Leonel le sea imposible lograr el objetivo.

Sean ABC y BDE dos triángulos iguales con  tales que los vértices B, C y D pertenecen a una recta, con C entre B y D, y los vértices A y E están en el mismo semiplano respecto de la recta BD.
Si AB = BD = 4 y BC = DE = 3, calcular el área de la región común a los triángulos ABC y BDE.

Tercer Nivel

En el pizarrón están escritos los números enteros desde 1 hasta 1234 inclusive. La operación permitida es elegir dos o tres números escritos, calcular su suma, dividir la suma por 11 y escribir en el pizarrón el resto de esta división, aun en el caso en que éste sea igual a 0. Luego, borrar los números elegidos.
Después de realizar esta operación varias veces, quedan en el pizarrón solo dos números, y uno de ellos es 1000. Determinar, si es posible, el otro número que quedó en el pizarrón.

Sean A la media aritmética y G la media geométrica de dos números positivos x e y, con .

a) Si , calcular .

b) Demostrar que hay un único par de enteros positivos distintos (x, y) tales que .

ACLARACIÓN: La media aritmética de dos números positivos x e y es .   La media geométrica de dos números positivos x e y es .
 

Sea ABC un triángulo con AB = AC y . Sean Q en AB y R en BC tales que , y sea P el punto de intersección de AR y CQ. Si PR = 10, hallar la medida del segmento BR.

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