I Olimpíada Iberoamericana para
Estudiantes Universitarios

17 de Septiembre de 1998

1 (4 puntos)

Las integrales definidas entre 0 y 1 de los cuadrados de las funciones reales continuas f(x) y g(x) son iguales a 1. Demuestre que existe un número real c tal que

f(c) + g(c) 2.

2 (5 puntos)

En un plano se encuentra una elipse E con semiejes a y b. Se consideran los triángulos inscritos en E tales que al menos uno de sus lados es paralelo a uno de los ejes de E. Encuentre el lugar geométrico de los centroides de tales triángulos y calcule su área.

3 (6 puntos)

Los divisores positivos de un número entero positivo n están escritos en orden creciente a partir del número 1.

1 = d₁ < d₂ < d₃ < ... < n

Encontrar el número n, si se sabe que

1. n = d₁₃ + d₁₄ + d₁₅  y

2. (d₅ + 1)³ = d₁₅ + 1.

4 (6 puntos)

Cuatro círculos de radio 1 con centros en los puntos A, B, C, D se encuentran en el plano de forma que cada círculo es tangente a dos de los otros. Un quinto círculo pasa por los centros de dos de los círculos y es tangente a los otros dos. Encuentre los valores que puede tomar el área del cuadrilátero ABCD.

5 (7 puntos)

Una sucesión de polinomios f₀(x) = 1, f₁(x) = 1+x, ..., f_n(x), ... se define por recurrencia como sigue

(k+1) f_k+1(x) - (x+1) f_k(x) + (x - k) f_k-1(x) = 0 para k = 1, 2, ...

Demuestre que f_k(k) = 2^k para cualquier k0.

6 (7 puntos)

Se considera la siguiente ecuación diferencial:

3(3+x²) = 2 (1+x²)² e^-t2.

Si x(0)1, demuestre que existe M > 0 tal que |x(t)| < M para cualquier valor de t0.

7 (8 puntos)

Hace mucho, mucho tiempo, cuando el mundo era plano y tenía forma de disco, la gente vivía en paz y no había fronteras. En algún momento empezó una guerra mundial y aparecieron estados cuyas fronteras estaban definidas por n líneas rectas que se movían, cada una paralela a sí misma con velocidades constantes (cada una con su propia velocidad). Además las líneas no podían reversar su dirección. Algunos estados originales desaparecieron (un estado desaparece si y sólo si su área se convierte en cero) y en el transcurso del tiempo otros estados pudieron surgir.

En un momento determinado los jefes de los estados existentes acordaron terminar la guerra y crearon una Organización de Naciones Unidas y todas las fronteras cesaron de moverse. La ONU contó el número total de estados que fueron destruidos y los existentes y obtuvo en total k.

Demuestre que . ¿Puede obtenerse la igualdad?

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