XXVI Torneo Internacional de las Ciudades

Primavera del Hemisferio Norte - 1 de Noviembre de 2004

1

En el gráfico de un polinomio cuadrático de coeficientes enteros se marcan dos puntos de coordenadas enteras. Demostrar que si la distancia entre los dos puntos es un número entero, entonces el segmento que une esos puntos es paralelo al eje de las x.

ACLARACIÓN: Un polinomio cuadrático de coeficientes enteros es P(x)=ax²+bx+c, con a, b, c enteros fijos (a¹0), por ejemplo, P(x)=2x²-3x+1 (a=2, b=-3, c=1), P(x)=x²+4 (a=1, b=0, c=4). El gráfico de P(x) son los puntos del plano de coordenadas (x,P(x)).

4 PUNTOS

2

En un triángulo ABC las alturas AA’ y BB’ se cortan en H. Sea X el punto medio del lado AB e Y el punto medio de CH. Demostrar que las rectas XY y A’B’ son perpendiculares.

5 PUNTOS

3

El barón de Münchhausen tiene un reloj que funciona perfectamente, pero no tiene marcas exteriores ni interiores de ningún tipo. Es nada más que un círculo perfecto con tres agujas, la más corta es la de las horas, la mediana es la de los minutos y la más larga es la de los segundos. El barón afirma que con este reloj puede saber qué hora es en el período que va desde las 8:00 hasta las 19:59, porque no se repite ninguna posición relativa entre las tres agujas. Determinar si es verdad que no se repite ninguna posición relativa entre las tres agujas.

5 PUNTOS

  4

Una hoja de papel rectangular cuadriculado de 10´12 se pliega a lo largo de líneas de la cuadrícula, varias veces, hasta obtener un cuadrado de 1´1. Determinar en cuántas partes se divide la hoja si se corta este cuadrado a lo largo de un segmento que une

a)      los puntos medios de dos lados opuestos;

2 PUNTOS

b)      los puntos medios de dos lados consecutivos.

4 PUNTOS

(En ambos casos, hallar todas las respuestas y demostrar que son las únicas posibles.)

 5

Un juego consta de un conjunto piezas con forma de paralelepípedo recto. Todos los paralelepípedos se guardan en una caja con forma de paralelepípedo recto. Por un error de fabricación, cada pieza del conjunto tiene uno de sus lados más corto que lo que indica el diseño. Decidir si entonces se puede asegurar que se puede colocar todas las piezas en una caja con uno de sus lados de menor tamaño que la original del juego. (Las piezas se colocan en la caja con sus lados paralelos a los de la caja.)

6 PUNTOS

 6 

Alan y Beto se reparten 25 monedas de 1, 2, 3, ..., 25 pesos con el siguiente procedimiento: En cada paso uno de ellos elige una moneda (aun no asignada) y el otro decide quien se lleva esa moneda. En el primer paso, Alan elige la moneda, y a partir de entonces, en cada paso, el que elige la moneda es el que tiene más dinero hasta ese momento (si los dos tienen la misma cantidad, entonces el que elige es el mismo que eligió en el paso anterior). Decidir si Alan tiene alguna estrategia que le permita finalizar con más dinero que Beto, o si Beto siempre puede impedírselo.

6 PUNTOS

7 

Se numeran las casillas de un tablero de ajedrez de 8´8 de la siguiente manera:

Pedro coloca 8 piedras una en cada una de 8 casillas del tablero, de modo que cada fila y cada columna del tablero contenga exactamente una piedra. A continuación, mueve cada piedra a una casilla que tenga un número mayor al de la casilla original de esa piedra. Decidir si es posible que al cabo de estos movimientos haya, nuevamente, exactamente una piedra en cada fila y en cada columna.

8 PUNTOS

1 

En el gráfico de un polinomio de coeficientes enteros se marcan dos puntos de coordenadas enteras. Demostrar que si la distancia entre los dos puntos es un número entero, entonces el segmento que une esos puntos es paralelo al eje de las x.

4 PUNTOS

2

Sean W₁ y W₂ circunferencias tales que W₁ pasa por el centro de W₂. Las rectas tangentes a W₂ trazadas por un punto C de W₁ cortan nuevamente a W₁ en A y B, respectivamente. Demostrar que el segmento AB es perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias.

5 PUNTOS

3 

Alan y Beto se reparten 25 monedas de 1, 2, 3, ..., 25 pesos con el siguiente procedimiento: En cada paso uno de ellos elige una moneda (aun no asignada) y el oponente decide a quien le corresponde esa moneda. En el primer paso, Alan elige la moneda, y a partir de entonces, en cada paso, el que elige la moneda es el que tiene más dinero hasta ese momento (si los dos tienen la misma cantidad, entonces el que elige es el mismo que eligió en el paso anterior). Decidir si Alan tiene alguna estrategia que le permita finalizar con más dinero que Beto, o si Beto siempre puede impedírselo.

5 PUNTOS

4

 Decidir si existe un polinomio cuadrático f(x) tal que f(x)=0 tenga exactamente 2 raíces reales distintas, f(f(x))=0 tenga exactamente 4 raíces reales distintas, f(f(f(x)))=0 tenga exactamente 8 raíces reales distintas, etc., es decir, tal que para todo entero positivo n la ecuación f(f(...f(x)...))=0 tenga exactamente 2ⁿ raíces reales distintas (los puntos suspensivos indican que hay n letras f).

6 PUNTOS

5 

En una misma esfera hay inscriptos un icosaedro y un dodecaedro. Demostrar que el icosaedro y el dodecaedro están circunscriptos a una misma esfera. (Recordemos que el icosaedro es el cuerpo de 20 caras todas ellas triángulos equiláteros iguales, tal que en cada vértice concurren 5 caras, y el ángulo entre dos caras con una arista común es siempre el mismo; el dodecaedro tiene 12 caras que son pentágonos regulares iguales, tal que en cada vértice concurren 3 caras y el ángulo entre dos caras con una arista común es siempre el mismo.)

7 PUNTOS

6 

En un tablero de ajedrez de 8´8 , sea A la casilla de una esquina y B la casilla vecina en diagonal a A (las casillas A y B se tocan exactamente en un punto). Se denomina camino de la torre a un camino que visite cada casilla del tablero exactamente una vez, y que en cada paso, se mueva desde la casilla en la que se encuentra a una vecina horizontal o vertical (no diagonal). Demostrar que hay más caminos de la torre que comienzan en A, que los que comienzan en B.

7 PUNTOS

7 

Se tienen 200 puntos en el espacio. Cada dos de ellos están conectados por un segmento, y no hay segmentos que se corten entre si (solo se tocan en los extremos). Cada segmento está coloreado con uno de k colores. Pedro quiere colorear los 200 puntos con esos mismos colores de manera tal que no haya ningún par de puntos que tengan los  dos el mismo color que el segmento que los une. Decidir si siempre puede hacerlo si

a)      k=7;

4 PUNTOS

b)      k=10.

4 PUNTOS

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