XX Torneo Internacional de las Ciudades

Primavera del Hemisferio Norte - 4 de marzo de 1999

1

Una persona se ha quedado completamente sin dinero, pero tiene $500 en su cuenta bancaria. Sólo están permitidas dos operaciones bancarias: extraer $300 o depositar $198. Estas operaciones se pueden repetir tantas veces como se desee, pero en ningún momento es posible retirar más dinero del que hay en la cuenta. ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que puede sacar esta persona de su cuenta? ¿Cómo puede lograrlo?

3 PUNTOS

2

Sea O el punto de intersección de las diagonales del paralelogramo ABCD. Demostrar que si la recta BC es tangente a la circunferencia que pasa por los puntos A, B y O, entonces la recta CD es tangente a la circunferencia que pasa por los puntos B, C y O.

4 PUNTOS

3

Dos jugadores juegan el siguiente juego: el primer jugador escribe un 0 ó un 1 y luego agrega un 0 ó un 1 a la derecha de los números ya escritos, hasta que haya 1999 de estos dígitos. Después de que el primer jugador escribe cada dígito (excepto el primero), el segundo jugador elige dos dígitos entre los que ya están escritos hasta ese momento y los intercambia. ¿Puede asegurar el segundo jugador que después de su último movimiento la fila de 1999 dígitos será simétrica?

4 PUNTOS

4

Un círculo está dividido por n diámetros en 2n sectores iguales. La mitad de los sectores estan pintados de azul y la otra mitad están pintados de rojo (en orden arbitrario). Los sectores azules están numerados de 1 a n en sentido contrario a las agujas del reloj, comenzando desde un sector azul arbitrario, y los sectores rojos están numerados de 1 a n en el sentido de las agujas del reloj, comenzando desde un sector rojo arbitrario. Demostrar que hay un semicírculo que contiene sectores con todos los números de 1 a n.

6 PUNTOS

5

Los segmentos AB y AC son tangentes a la circunferencia inscrita en el triángulo ABC y los puntos de tangencia son, respectivamente, P y Q. Sean R y S los puntos medios de los lados AC y BC, respectivamente, y sea T el punto de intersección de las rectas PQ y RS. Demostrar que T pertenece a la bisectriz del ángulo B del triángulo.

6 PUNTOS

6

Un movimiento de la torre consiste en pasar a una casilla vecina, ya sea en dirección horizontal o vertical. Luego de 64 movimientos la torre ha visitado todas las casillas de un tablero de ajedrez de 8 x 8 y ha regresado a la casilla de la que partió. Demostrar que el número de movidas en dirección vertical y el número de movidas en dirección horizontal son distintos.

9 PUNTOS

1

Un poliedro convexo flota en el mar. ¿Puede ser que el 90% de su volumen esté debajo del nivel del agua y al mismo tiempo más de la mitad de su área esté encima del nivel del agua?

4 PUNTOS

2

Sea ABCD un cuadrilátero convexo inscripto en una circunferencia de centro O. Sea F el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscriptas a los triángulos ABO y CDO. Demostrar que la circunferencia que pasa por los puntos A, F y D también pasa por el punto de intersección de los segmentos AC y BD.

4 PUNTOS

3

Hallar todos los pares (x,y) de enteros positivos tales que tanto x³ + y como x+ y³ son divisibles por x² + y².

5 PUNTOS

4

Un círculo está dividido por n diámetros en 2n sectores iguales. La mitad de los sectores estan pintados de azul y la otra mitad están pintados de rojo (en orden arbitrario). Los sectores azules están numerados de 1 a n en sentido contrario a las agujas del reloj, comenzando desde un sector azul arbitrario, y los sectores rojos están numerados de 1 a n en el sentido de las agujas del reloj, comenzando desde un sector rojo arbitrario. Demostrar que hay un semicírculo que contiene sectores con todos los números de 1 a n.

5 PUNTOS

5

Para cada entero no negativo i se define el número M(i) de la siguiente manera: se escribe el desarrollo binario de i y se obtiene una sucesión de ceros y unos; si el número de unos de la sucesión es par, entonces M(i)=0, en caso contrario, M(i)=1. (Los valores de M(i) para i=0, 1, 2, 3, ... son 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ...).

1. Consideramos la sucesión M(0), M(1), ..., M(1000). Demostrar que hay por lo menos 320 términos de esta sucesión que son iguales a sus respectivos vecinos de la derecha, es decir, M(i)=M(i+ 1).

2 PUNTOS

2. Consideramos la sucesión M(0), M(1), ..., M(1.000.000). Demostrar que el número de términos M(i) tales que M(i)=M(i+ 7) es mayor o igual que 450000.

5 PUNTOS

6

Un movimiento de la torre consiste en pasar a una casilla vecina, ya sea en dirección horizontal o vertical. Luego de 64 movimientos la torre ha visitado todas las casillas de un tablero de ajedrez de 8 x 8 y ha regresado a la casilla de la que partió. Demostrar que el número de movidas en dirección vertical y el número de movidas en dirección horizontal son distintos.

8 PUNTOS

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