XX Torneo Internacional de las Ciudades

Otoño del Hemisferio Norte - 29 de Octubre de 1998

1

Sean a y b dos números naturales tales que mcm (a, a + 5) = mcm (b, b + 5).

Demostrar que a = b.

ACLARACION: mcm simboliza mínimo común múltiplo.

3 PUNTOS

2

Juan y María tenían cada uno un tablero de 8x8 dividido en casillas de 1x1, todas blancas. Los dos pintaron con azul igual cantidad de casillas de sus respectivos tableros. Demostrar que se puede dividir cada uno de los dos tableros en piezas de 2x1 (del tipo de las piezas de dominó) de manera tal que después se pueda rearmar el tablero de Juan y también el tablero de María y los dos nuevos tableros queden idénticos, es decir, con la misma distribución de las casillas azules.

4 PUNTOS

3

La recta AB intersecta dos circunferencias iguales, es paralela al segmento que une los centros de las dos circunferencias y todos los puntos de intersección de la recta con las circunferencias están comprendidos en el interior del segmento AB. Se trazan desde A las dos tangentes a la circunferencia más próxima a A y se trazan desde B las dos tangentes a la circunferencia más próxima a B. Resulta así que el cuadrilátero determinado por las cuatro tangentes contiene a las dos circunferencias. Demostrar que este cuadrilátero posee una circunferencia inscripta, es decir, una circunferencia que es tangente a los cuatro lados del cuadrilátero.

5 PUNTOS

4

Se trazan todas las diagonales de un polígono regular de 25 lados. Demostrar que es imposible que 9 de estas diagonales pasen por un mismo punto interior del polígono de 25 lados.

6 PUNTOS

5

Se tienen 20 bolitas de 10 colores (dos de cada color) distribuidas en 10 cajas. No se sabe cuántas bolitas hay en cada caja ni cómo se han repartido, pero se sabe que se puede elegir una bolita de cada caja de manera tal que cada color quede representado. Demostrar que el número de tales posibles elecciones es una potencia entera de 2 con exponente mayor que cero.

7 PUNTOS

6

Una banda de ladrones le robó a un rico mercader una bolsa de monedas. Cada moneda vale un número entero de rupias. Se sabe que si se quita cualquier moneda de la bolsa, las restantes monedas se pueden distribuir equitativamente entre los ladrones (es decir, que cada ladrón reciba la misma cantidad de rupias). Demostrar que después de quitar una moneda, la cantidad de monedas restantes es divisible por el número de ladrones.

ACLARACION: Las monedas no son necesariamente todas del mismo valor.

7 PUNTOS

1

a) Sean a y b dos números naturales tales que mcm(a,a+S) = mcm(b,b+S).

Demostrar que a=b,

ACLARACION: mcm simboliza mínimo común múltiplo.

2 PUNTOS

b) Decidir si existen números naturales a, b, c tales que mcm (a, b) = mcm (a + c, b + c).

3 PUNTOS

2

La recta AB intersecta dos circunferencias iguales, es paralela al segmento que une los centros de las dos circunferencias y todos los puntos de intersección de la recta con las circunferencias están comprendidos en el interior del segmento AB. Se trazan desde A las dos tangentes a la circunferencia más próxima a A y se trazan desde B las dos tangentes a la circunferencia más próxima a B. Resulta así que el cuadrilátero determinado por las cuatro tangentes contiene a las dos circunferencias. Demostrar que este cuadrilátero posee una circunferencia inscripta, es decir, una circunferencia que es tangente a los cuatro lados del cuadrilátero.

4 PUNTOS

3

Hay nueve números escritos en una tabla:

Se sabe que los seis números que se obtienen al sumar cada fila y cada columna de la tabla son iguales, es decir:

a₁ + a₂ + a₃ = b₁ + b₂ + b₃ = c₁ + c₂ + c₃ = a₁ + b₁ + c₁ = a₂ + b₂ + c₂ = a₃ + b₃ + c₃

Demostrar que la suma de los productos de los números de las filas es igual a la suma de los productos de los números de las columnas, es decir:

a₁a₂a₃ + b₁b₂b₃ + c₁c₂c₃ = a₁b₁c₁ + a₂b₂c₂ + a₃b₃c_3.

5 PUNTOS

4

Alrededor de una mesa redonda se han preparado 12 lugares para los miembros del jurado, con tarjetas que indican el lugar para cada miembro. El profesor K. entró distraído y en vez de ocupar su lugar, se sentó en el lugar siguiente (siguiendo el sentido de las agujas del reloj). Todos los demás miembros del jurado, sucesivamente, ocupan el lugar que les corresponde, o en caso de que esté ya ocupado, se sientan en el primer lugar libre (en el sentido de las agujas del reloj). La manera en la que quedan acomodados en la mesa depende del orden en el que se fueron sentando. ¿De cuántas maneras distintas pueden quedar distribuidos los miembros del jurado en la mesa?

6 PUNTOS

5

Llamaremos tamaño de un paralelepípedo rectángulo a la suma de su altura más su largo más su ancho. ¿Puede ser que un paralelepípedo rectángulo contenga a otro de mayor tamaño?

7 PUNTOS

6

Se da la función , donde los trinomios x² + ax + b y x² + cx + d no tienen raíces comunes. Demostrar que las siguientes dos afirmaciones son equivalentes (es decir, demostrar que (i) Þ (ii) y que (ii) Þ (i)).

(i) existe un intervalo de la recta numérica que no contiene ningún valor de f(x);

(ii) f(x) se puede representar de la forma

f(x) = f₁ (f₂ (...f_n-1 (f_n (x))...))

donde cada función f₁, f₂, ..., f_n-1, f_n es igual a a x + b , con a , b reales, o es igual a 1 / x, o es igual a x².

8 PUNTOS

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