XIX Torneo Internacional de las Ciudades

Primavera del Hemisferio Norte - 26 de Marzo de 1998

1

Decidir si existe un conjunto de 10 números naturales tales que ninguno de ellos es múltiplo de otro de ellos pero el cuadrado de cada uno de ellos es múltiplo de cada uno de los 10 números originales.

3 puntos

2

Sea ABCD un paralelogramo y O el punto de intersección de sus diagonales AC y BD. Se considera el punto M del lado AB o de su prolongación tal que ^MAD=^AMO. Demostrar que MD=MC.

(^MAD es "el ángulo MAD").

3 puntos

3

Se arrojan seis dados y se perfora cada uno de ellos mediante un agujero que lo atraviesa desde el centro de la cara superior hasta el centro de la cara opuesta (la inferior). Luego se ensartan los seis dados con una aguja de tejer.
Se se apoya la aguja sobre la mesar puede verse un número de seis dígitos, formado por los seis números que están en las caras superiores de los seis dados.
Cada dado puede rotar en forma independiente de los demás, con eje en la aguja. Demostrar que siempre es posible rotar los dados de manera tal que el número de seis dígitos que se forma sea múltiplo de 7.
ACLARACIÓN: Las caras de un dado están numeradas de 1 a 6 y la suma de los números de las caras opuestas es siempre igual a 7.

4 puntos

4

Un viajero llegó a un pueblo en el que cada habitante o dice siempre la verdad o siempre miente. Los habitantes formaron una ronda, mirando hacia el centro, y cada uno declaró si su vecino de la derecha es o no mentiroso. Con esta información, el viajero pudo conocer con certeza cuál es la fracción de mentirosos con respecto al total de habitantes.
¿Qué fracción del total de habitantes son los mentirosos?

4 puntos

5

Se divide un cuadrado en 25 cuadrados pequeños, iguales entre sí. Se trazan algunas diagonales de cuadrados pequeños de modo tal que no haya dos diagonales con un punto en común (ni siquiera un extremo en común).
¿Cuál es el número máximo de diagonales que se pueden trazar?

7 puntos

6

Diez personas están sentadas alrededor de una mesa redonda. Delante de cada una de ellas hay algunas nueces, y en total hay 100 nueces. Cuando suena el timbre, cada persona pasa nueces a la que está a su derecha, con la siguiente regla: si tiene un número par pasa la mitad y si tiene un número impar, pasa una nuez más a la mitad de de las restantes. Este procedimiento se repite una y otra vez. Demostrar que en algún momento todos tendrán exactamente 10 nueces.

8 puntos

1

Si a, b, c, son números enteros positivos, demostrar la siguiente desigualdad:

4 puntos

2

Un cuadrado de lado 1 se divide en rectángulos. Para cada rectángulo pequeño, se considera el menor de sus lados (si el rectángulo es un cuadrado, se considera cualquiera de sus cuatro lados). Demostrar que la suma de las longitudes de todos los lados considerados es mayor o igual que 1.

4 puntos

3

1. En el pizarrón están escritos los números 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, y 128. La operación permitida es borrar dos números escritos, a elección, y escribir el número igual a la resta de los dos números que se borran (el mayor menos el menor). Después de 7 operaciones queda sólo un número en el pizarrón. ¿Puede ser 97?

2 puntos

2. En el pizarrón están escritos los números 1, 2, 2², 2³, ... , 2¹⁰. La operación permitida es borrar dos números escritos, a elección, y escribir el número igual a la resta de los dos números que se borran (el mayor menos el menor). Después de varias operaciones queda sólo un número en el pizarrón. ¿Qué valores puede tener ese número?

3 puntos

4

Sea ABCD un cuadrilátero convexo y M un punto en su interior tal que los triángulos AMB y CMD son isósceles (AM=MB, CM=MD) y ^AMB=^CMD=120^o. Demostrar que existe un punto N tal que los triángulos BNC y DNA son equiláteros.

5 puntos

5

Un laberinto es un tablero de ajedrez de 8x8 que tiene barreras entre algunos cuadraditos vecinos. Si una torre puede visitar todas las casillas del tablero sin saltar sobre ninguna barrera, el laberinto es bueno; en otro caso, es malo. Decidir si la cantidad de laberintos buenos es mayor o menor que la cantidad de laberintos malos.
ACLARACIÓN: La torre de ajedrez, en cada movida, se desplaza tantas casillas como se desee, a lo largo de la fila o de la columna en que está colocada.

6 puntos

6

1. Dos magos hacen un truco con naipes. El primer mago toma 5 naipes del mazo de 52 (previamente mezclado delante del público), los mira y los coloca en fila, de izquierda a derecha, uno tapado (no necesariamente el primero) y los restantes destapados. El segundo mago debe adivinar el naipe tapado. Demostrar que los magos pueden ponerse de acuerdo en un código secreto que les permita no fallar jamás.
   ACLARACIÓN: Un naipe está tapado si está con la cara para abajo.

6 puntos

2. Para su segundo truco, el primer mago toma cinco naipes del mazo, esconde uno, y coloca los otros cuatro naipes destapados en una fila, de izquierda a derecha. ¿Es posible que se pongan de acuerdo en un código secreto que permita que el segundo mago siempre adivine el naipe escondido?

6 puntos

Archivo de Enunciados Página Principal	Olimpíada Matemática Argentina    www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar