(Primavera del Hemisferio Norte)

Nivel Juvenil

1. Un lado de un triángulo es igual a un tercio de la suma de los otros dos. Demostrar que el ángulo opuesto al primer lado es el más pequeño de los ángulos del triángulo.

3 puntos

2. Hay 25 pedazos de queso, todos de diferente peso. Decidir si siempre es posible cortar uno de los pedazos en dos partes y colocar luego los 26 pedazos en dos paquetes tales que los dos paquetes tengan la misma cantidad de pedazos de queso, los dos paquetes pesen lo mismo y cada una de las partes que se cortaron estén en paquetes distintos.

3. Los mismos 2n jugadores de ajedrez jugaron dos torneos (en cada torneo, todos jugaron una vez contra todos; cada partida ganada otorga 1 punto y cada empate otorga 1/2 punto).

Demostrar que si las cantidades de puntos de cada jugador en el primer torneo y en el segundo torneo difieren en por lo menos n entonces todas difieren en exactamente n.

5 puntos

4. Se ha dado un hexágono convexo AC'BA'CB' tal que tres pares de lados vecinos son iguales:

AB'=AC', BC'=BA', CA'=CB'  y  <A + <B + <C = <A' + <B' + <C'
( <A es el ángulo A )

Demostrar que el área del triángulo ABC es la mitad del área del hexágono.

6 puntos

5. a) Demostrar que el número 97⁹⁷ no se puede representar como la suma de los cubos de varios enteros consecutivos.

b) Demostrar que el número 1997¹⁷ no se puede representar como la suma de los cubos de varios enteros consecutivos.

6. Sea P un punto interior de un triángulo isósceles ABC (AB=BC) tal que <ABC = 80^o, <PAC = 40^o, <ACP = 30^o. Hallar el ángulo <BPC

4 puntos

7. Se dispone de 10 pesas que pesan 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 y 512 gramos, respectivamente. Un objeto cualquiera que pesa M gramos se puede pesar con una balanza de platos, colocando pesas en los dos platos.

a) Demostrar que ningún objeto se puede pesar de más de 89 maneras distintas.

b) Dar un ejemplo de M tal que un objeto que pesa M gramos se pueda pesar de 89 maneras.

4 puntos

1. Hay 25 pedazos de queso, todos de diferente peso. Decidir si siempre es posible cortar uno de los pedazos en dos partes y colocar luego los 26 pedazos en dos paquetes tales que los dos paquetes tengan la misma cantidad de pedazos de queso, los dos paquetes pesen lo mismo y cada una de las partes que se cortaron estén en paquetes distintos.

2. Se trazan las bisectrices AD y BE de un triángulo ABC y DE es la bisectriz del ángulo ADC. Hallar el ángulo A.

3. Consideramos un conjunto de 20 pesas con la siguiente propiedad: todo peso entero positivo m, entre 1 y 1997 inclusive, se puede balancear usando algunas de las pesas (el objeto que pesa m se coloca en un plato de una balanza de platos y las pesas en el otro plato). ¿Cuál es el mínimo valor posible de la pesa más pesada del conjunto si

a) todas las pesas del conjunto tienen peso entero?

b) las pesas del conjunto no son necesariamente de pesos enteros?

4. Un polígono convexo G está ubicado en el interior de otro polígono convexo F, de modo que sus bordes no tienen puntos en común. Una cuerda s de F (segmento que contiene dos puntos de borde de F) se llama cuerda soporte de G si s se intersecta con G sólo en puntos del borde (es decir, s contiene un lado o sólo un vértice de G) Demostrar que:

a) existe una cuerda soporte tal que el punto medio de dicha cuerda pertenece al borde de G.

b) existen al menos dos de tales cuerdas.

5. Los números positivos a, b, c son tales que abc=1. Demostrar la desigualdad

6. Demostrar que si F(x) y G(x) son polinomios con coeficientes 0 y 1 tales que se verifica la identidad

entonces uno de los polinomios F o G se puede representar de la forma

donde T(x) tiene también coeficientes 0 y 1, k > 1.

8 puntos

7. En el plano se han dibujado varias franjas y un círculo de radio 1. La suma del ancho de las franjas es igual a 100. Demostrar que se puede transladar en forma paralela cada franja de modo tal que todas cubran el círculo.

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