Pretorneo Internacional de las Ciudades
Segundo Pretorneo 1999

10 de junio de 1999

 

nivel juvenil

1

El padre y el hijo patinan en una pista circular. De tanto en tanto, el padre pasa al hijo. En un momento dado, el hijo comienza a patinar en dirección opuesta, y entonces los encuentros entre padre e hijo son cinco veces más frecuentes. Hallar la razón r entre las velocidades del padre y el hijo:

r = velocidad del padre / velocidad del hijo

3 PUNTOS

2

Sea ABC un triángulo rectángulo con C = 90º. Sobe la hipotenusa AB se construye el cuadrado ABDE, exterior al triángulo. La bisectriz de C intersecta DE en F. Si AC = 1 y BC = 3, hallar DE / EF.

4 PUNTOS

3

En el pizarrón A hay escritos varios enteros positivos a0, a1, a2, ..., an (puede haber números repetidos). En el pizarrón B escribimos la cantidad de números que hay escritos en el pizarrón A: b0, la cantidad de números mayores que 1 que hay escritos en el pizarrón A: bl, la cantidad de números mayores que 2 que hay escritos en el pizarrón A: b2, y así siguiendo mientras los b sean positivos (no sean 0). Ahí nos detenemos, y no escribimos ningún cero. En el pizarrón C escribimos los números c0, c1, c2, .... siguiendo las misma reglas que antes, pero aplicadas a los números b0, bl, b2, ... del pizarrón B. Demostrar que en el pizarrón C quedan escritos los mismos números que en el pizarrón A.

Por ejemplo, si los números del pizarrón A son 1, 3, 5, 7, los números del pizarrón B son 4 3, 3, 2, 2, 1, 1, y los números del pizarrón C son 7, 5, 3, 1.

4 PUNTOS

4

Un cuadrado se corta en 100 rectángulos mediante 9 líneas paralelas a un par de lados y 9 líneas paralelas al otro par de lados. Si exactamente 9 de estos rectángulos resultan ser cuadrados, demostrar que por lo menos dos de estos 9 cuadrados son del mismo tamaño.

5 PUNTOS

 

nivel mayor

1

En una fila hay escritos 1999 números tales que, excepto el primero y el último, cada uno es igual a la suma de sus dos vecinos. Si el primer número es 1, hallar el último.

3 PUNTOS

2

En el plano hay dibujado un triángulo equilátero de lado 1, pintado de negro. Mostrar cómo se pueden ubicar otros 7 triángulos equiláteros de lado 1, blancos, que no se solapen entre si, y de modo que cada triángulo blanco cubra por lo menos un punto del interior del triángulo negro.

4 PUNTOS

3

En el pizarrón A hay escritos varios enteros positivos a0, a1, a2, ..., an (puede haber números repetidos). En el pizarrón B escribimos la cantidad de números que hay escritos en el pizarrón A: b0, la cantidad de números mayores que 1 que hay escritos en el pizarrón A: bl, la cantidad de números mayores que 2 que hay escritos en el pizarrón A: b2, y así siguiendo mientras los b sean positivos (no sean 0). Ahí nos detenemos, y no escribimos ningún cero. En el pizarrón C escribimos los números c0, c1, c2, .... siguiendo las misma reglas que antes, pero aplicadas a los números b0, bl, b2, ... del pizarrón B. Demostrar que en el pizarrón C quedan escritos los mismos números que en el pizarrón A.

Por ejemplo, si los números del pizarrón A son 1, 3, 5, 7, los números del pizarrón B son 4 3, 3, 2, 2, 1, 1, y los números del pizarrón C son 7, 5, 3, 1.

4 PUNTOS

4

Dos personas juegan un juego en un tablero de 9 x 9. Mueven por turnos. En cada movida, el primer jugador hace una cruz en una casilla vacía, y el segundo jugador hace un circulito en una casilla vacía. Cuando se completaron las 81 casillas, se cuenta el número de filas y de columnas que tienen más cruces que circulitos: K, y se cuenta el número de filas y de columnas que tienen más circulitos que cruces: H. El puntaje del primer jugador es B = K - H. Hallar un valor de B tal que el primer jugador pueda garantizar un puntaje de por lo menos B, mientras que el segundo jugador pueda lograr que el puntaje del primero sea a lo sumo B, sin importar cómo juegue el oponente.

5 PUNTOS

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