Pretorneo Internacional de las Ciudades
Primer Pretorneo 1999

22 de Abril de 1999

1

Un cubo de lado 20 está subdividido en 8000 cubitos de lado 1, y en cada cubito hay un número grabado. Se sabe que en cada columna paralela a una arista del cubo, formada por 20 cubitos, la suma de los 20 números grabados es igual a 1 (esto vale para cada columna en cada una de las tres direcciones). Uno de los cubitos tiene grabado el número 10. Se consideran las tres rebanadas del cubo de l x 20 x 20 cubitos, paralelas a las caras del cubo y que contienen, cada una de las tres, al cubito con el número 10. Hallar la suma de todos los números grabados en los cubitos que no pertenecen a ninguna de las tres rebanadas.

3 PUNTOS

2

Se sabe que el cuadrado de un número entero termina en 09. Demostrar que, en dicho cuadrado, el dígito de las centenas es par.

3 PUNTOS

3

En el triángulo ABC se consideran los puntos A', B', C' en el interior de los lados BC, CA, AB, respectivamente, tales que los ángulos:

AC'B' = B'A'C'

CB'A' = A'C'B

BA'C'= C'B'A

Demostrar que A', B', C' son los puntos medios de los lados correspondientes.

4 PUNTOS

4

Un cocodrilo-(n,m) es una pieza que se mueve en un tablero cuadriculado infinito; en cada movimiento da un salto de n casillas (en dirección horizontal o vertical) seguido de un salto de m casillas en la dirección perpendicular al primer salto. Dados enteros positivos n y m, demostrar que las casillas del tablero infinito se pueden pintar de negro y blanco de manera tal que el cocodrilo-(n,m) siempre se mueva de una casilla negra a una blanca y viceversa.

5 PUNTOS

1

Se tienen 19 pesas distintas de 1 g, 2 g, 3 g, ..., 19 g. Nueve son de acero, nueve son de bronce y una es de oro. Se sabe que el peso total de las pesas de acero es 90 g superior al peso total de las pesas de bronce. Hallar el peso de la pesa de oro.

3 PUNTOS

2

En un tablero de ajedrez de Sx8 se marcaron 17 casillas. Demostrar que siempre es posible elegir dos casillas entre las marcadas de manera tal que el caballo necesitará por lo menos tres movidas para ir de una de las casillas elegidas hasta la otra. (En cada movida, el caballo da un salto de 1 casillas en dirección horizontal o vertical seguido de un salto de 2 casillas en la dirección perpendicular al primer salto.)

4 PUNTOS

3

Se consideran conjuntos de números reales {x₁, x₂, ..., x₂₀} todos mayores que 0 y menores que 1, tales que

x₁x₂...x₂₀ = (1 - x₁) (1 - x₂) ... (1 - x₂₀).

Entre estos conjuntos, hallar aquel para el cual el producto x₁x₂...x₂₀ es máximo.

4 PUNTOS

4

El coeficiente intelectual de un país es el promedio de los coeficientes intelectuales de todos sus habitantes. Suponemos que durante el período de tiempo de este problema, no hay muertes ni nacimientos.

(a) Un grupo de personas del país A emigra al país B. Demostrar que puede ocurrir que después de la emigración el coeficiente intelectual de cada uno de los países aumente.

1 PUNTO

(b) Después de la primera migración, un grupo de personas de B (entre las que puede o no haber personas que venían de A) emigran a A. ¿Puede ocurrir que el coeficiente intelectual de cada uno de los dos países aumente de nuevo?

3 PUNTOS

(c) Un grupo de personas de A emigró a B y un grupo de personas de B se muda a un tercer país, C. Como resultado del proceso, el coeficiente intelectual de cada uno de los tres países aumentó. Después de esto, cambiaron los sentidos de las comentes migratorias: parte de la población de C se traslada a B y parte de la población de B emigra a A. ¿Es posible que los coeficientes intelectuales de cada uno de los tres países aumenten nuevamente (comparados con los que había después de la primera migración)?

2 PUNTOS

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