Pretorneo Internacional de las Ciudades
Primer Pretorneo 1998

16 de Abril de 1998

1

Cuándo la escalera mecánica está detenida, un niño baja más rápido de lo que sube. Decidir que hace más rápido el niño: bajar y volver a subir la escalera mecánica cuando ésta tiene movimiento ascendente o bajar y volver a subir la misma escalera cuando tiene movimiento descendente.

3 Puntos

2

Demostrar que la ecuación x² + y² - z² = 1997 tiene infinitas soluciones enteras.

3 Puntos

3

En un cuadrado ABCD, K es un punto del lado BC y la bisectriz del ángulo KAD corta al lado CD en M. Demostrar que AK=DM+BK.

4 Puntos

4

En un tablero cuadriculado se desea trazar cierto número de rectas tales que para cada casilla del tablero haya al menos un de las rectas que pase por un punto interior de la casilla.

1. ¿Cuál es el mínimo número de rectas necesarias si el tablero es de 3x3?

2 Puntos

2. ¿Cuál es el mínimo número de rectas necesarias si el tablero es de 4x4?

4 Puntos

1

En un tablero cuadriculado se desea trazar cierto número de rectas tales que para cada casilla del tablero haya al menos una de las rectas que pase por un punto interior de la casilla.

1. ¿Cuál es el mínimo número de rectas necesarias si el tablero es de 3x3?

2 Puntos

2. ¿Cuál es el mínimo número de rectas necesarias si el tablero es de 4x4?

3 Puntos

2

Sean a y b dos lados de un triángulo. ¿Cómo debe elegirse el tercer lado c para que los puntos de contacto de las circunferencias inscrita y exinscrita con el lado c lo dividan en tres segmentos iguales.

ACLARACIÓN: La circunferencia exinscrita correspondiente al lado c es la circunferencia tangente al lado c y a las prolongaciones de los lados a y b.

3 Puntos

3

Demostrar que la ecuación xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)=6 tiene infinitas soluciones enteras.

4 Puntos

4

En un tablero de 5x5, del tipo del tablero de ajedrez, se ha colocado el máximo número posible de caballos de modo tal que no haya dos que se amenacen. Demostrar que hay una sola ubicación posible.

ACLARACIÓN: Dos caballo se amenazan cuando están ubicados en esquinas opuestas de un rectángulo de 2x3 ó de 3x2.

4 Puntos

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