Nivel Juvenil

1. ¿Cuántos enteros entre 1 y 1997 inclusive hay tales que la suma de sus dígitos es múltiplo de 5?

3 Puntos

2. Las mesas de billar en el planeta Trifón tienen forma de triángulos equiláteros. Al igual que en la Tierra, cuando una bola rebota en un borde (banda) el ángulo de llegada al borde es igual al de salida de dicho borde. Un trifonícola afirma que puede golpear una bola en un punto del borde de la mesa y lograr que la trayectoria de esta bola pase tres veces por un mismo punto de la mesa, cada vez en distinta dirección, y regrese al punto de partida. Decidir si el trifonícola puede estar diciendo la verdad.

3 Puntos

3. Se corre el diámetro vertical de un círculo a centímetros hacia la derecha y se corre el diámetro horizontal b centímetros hacía arriba. Estas dos líneas dividen al círculo en cuatro partes. Consideramos por un lado la suma de las áreas de la parte más chica más la parte más grande y por otro lado, la suma de las áreas de las restantes dos partes. Hallar la diferencia entre estas dos sumas.

4 Puntos.

4. Se corta un cuadrado en 25 cuadrados más pequeños, de los cuales exactamente 24 tienen lado 1. Hallar el área del cuadrado original.

4 Puntos.

1. Se divide un cubo en 99 cubos más pequeños, de los cuales exactamente 98 tienen lado 1. Hallar el volumen del cubo original.

3 Puntos.

2. Sean a y b enteros positivos. Si a2 + b2 es divisible por ab, demostrar que a=b.

3 Puntos.

3. El punto (0,0) está en el interior de un círculo de centro (a,b). Designamos con S+ al área total de las partes del círculo que están en el primer y el tercer cuadrante y con S- al área total de las partes del círculo que están en el segundo y el cuarto cuadrante. Calcular S+ - S-.

4 Puntos.

4. En un juego, el primer jugador pinta de rojo un punto del plano; el segundo jugador pinta de verde 10 puntos aún no coloreados; luego el primer jugador pinta de rojo un punto no coloreado; el segundo jugador pinta de verde 10 puntos no coloreados; así sucesivamente, el primero pinta uno de rojo y el segundo pinta 10 de verde. El primer jugador gana si en algún momento hay tres puntos rojos que formen triángulo equilátero.

¿Puede el segundo jugador evitar que el primero gane, no importa lo bien que juegue?

4 Puntos.

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