1. Decidir si existen 19 enteros positivos tales que la suma de los cuadrados de los 10 primeros sea igual a la suma de los cuadrados de los últimos 9.

3 Puntos

2. ¿Para qué enteros positivos n es posible dividir un triángulo equilátero de lado n en trapecios iguales de lados 1, 1, 1, 2?

3 Puntos

3. a) ¿Puede ocurrir que en un grupo de 10 mujeres y 9 varones todas las mujeres conozcan diferentes cantidades de varones del grupo y al mismo tiempo todos los varones conozcan la misma cantidad de mujeres del grupo?

2 Puntos.

b) ¿Qué pasa si en el grupo hay 11 mujeres y 10 varones?

2 Puntos.

4. Una circunferencia intersecta dos veces a cada lado de un rombo, dividiendo cada lado en tres segmentos. Recorremos el perímetro del rombo, en el sentido de las agujas del reloj, empezando en un vértice y pintamos los segmentos de la subdivisión sucesivamente de rojo, blanco y azul. Demostrar que la suma de las longitudes de los segmentos azules es igual a la de los rojos.

4 Puntos.

1. Consideramos tres aristas a, b, c de un cubo tales que no haya dos de ellas en un mismo plano. Hallar el lugar geométrico de los puntos interiores del cubo que equidistan de a, b, c.

3 Puntos

2. Decidir si es posible cortar un círculo de papel en pedazos y luego reacomodar los pedazos formando un cuadrado de igual área que el círculo si se hace sólo un número finito de cortes a los largo de líneas rectas o arcos de circunferencias.

3 Puntos.

3. En una hoja de papel en blanco se ha dibujado la parábola y=x². Reconstruir los ejes cartesianos utilizando sólo regla y compás.

4 Puntos.

4. ¿Para qué valores enteros de n > 1 puede ocurrir en un grupo de n + 1 mujeres y n varones todas las mujeres conozcan diferentes cantidades de varones del grupo y al mismo tiempo todos los varones conozcan la misma cantidad de mujeres del grupo.

4 Puntos.