Nivel Juvenil

1. Se da un triángulo acutángulo en el que los tres ángulos miden un número entero de grados y el ángulo mayor es cinco veces el ángulo menor. Hallar los ángulos.

(3 PUNTOS)

2. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, en algún orden, se forma un número N de nueve dígitos.Se consideran todos los tríos de tres dígitos consecutivos del número N y luego se suman entre si estos siete números de tres dígitos cada uno. Hallar el máximo valor posible de esta suma.

(4 PUNTOS)

3. Se marcan en una circunferencia los seis vértices de un hexágono regular y se numeran de 1 a 6, en algún orden; luego se trazan los segmentos 12, 23, 34, 45, 56 y 61.

a) Numerar los vértices para que la cantidad de puntos de intersección entre los segmentos mencionados sea máxima.

(2 PUNTOS)

b) Demostrar que es máximo, es decir, que es imposible dar una numeración en la que se supere el número obtenido en a).

(3 PUNTOS)

4. Dos jugadores juegan al Super Ta-Te-Ti en un tablero de 10 x 10. El que empieza el juego usa X y el segundo usa *. En cada turno, el jugador debe poner su símbolo en una casilla vacía. Cuando se han completado las 100 casillas, se calculan dos números: A y B. A es la cantidad total de cinco X consecutivas que hay, en fila, en columna o en diagonal (si hay, por ejemplo seis X seguidas en una fila, estas contribuyen con 2 al número A, si hay siete X consecutivas, contribuyen con 3, etc. ). B es la cantidad total de cinco * consecutivas que hay, en fila, en columna o en diagonal. Si A > B, gana el primer jugador. Si B > A, gana el segundo jugador. Si A = B, empatan.

a) Decidir si el primer jugador tiene una estrategia que le asegure no perder (o sea, ganar o empatar), independientemente de lo bien que juegue el segundo.

(3 PUNTOS)

b) Decidir si el primer jugador tiene una estrategia que le asegure ganar, independientemente de lo bien que juegue el segundo.

(2 PUNTOS)

En caso afirmativo, describir la estrategia.

Nivel Mayor

1. La pregunta de la encuesta es "Cree Ud. que el nuevo presidente será MEJOR, IGUAL o PEOR que sus antecesor?". a personas contestaron MEJOR, b personas contestaron IGUAL y c personas contestaron PEOR. Con estos datos, los sociólogos calculan dos medidas del "Optimismo Social":

m = a + b/2

n = a - c

Si se encuestó a 100 personas en total y resultó que m = 40. ¿Cuánto vale n?

(3 PUNTOS)

2. a) Decidir si existe un número entero n tal que los tres números n-96, n y n+96 son primos positivos.

(2 PUNTOS)

b) Decidir si existe un número entero n tal que los tres números n-1996, n y n+1996 son primos positivos.

(2 PUNTOS)

3. Considerar los 100 números 1!, 2!, ..., 100!. Decidir si se puede suprimir uno de ellos, de modo tal que el producto de los 99 restantes sea un cuadrado perfecto.

(5 PUNTOS)

Aclaración: n! = 1.2.3. ... .n. Por ejemplo, 5! = 1.2.3.4.5 = 120

4. Se construyen los cuadrados ABMN, BCKL y ACPQ, exteriores al triángulo ABC. La diferencia entre las áreas de ABMN y BCKL es d. Hallar la diferencia entre las áreas de los cuadrados de lados NQ y PK respectivamente,

a) si el ángulo ABC = 90 grados.

(3 PUNTOS)

b) para cualquier valor del ángulo ABC.

(2 PUNTOS)

Aclaración: A, B, M, N son vértices consecutivos del cuadrado ABMN. Lo mismo ocurre con BCKL y ACPQ.

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