Pretorneo Internacional de las Ciudades
Primer Pretorneo 2005

14 de abril

1

 Decidir si es posible ordenar los números enteros desde 1 hasta 2004 inclusive de manera tal que la suma de 10 números consecutivos sea siempre múltiplo de 10.

Si la respuesta es sí, decir cuál es ese orden. Si la respuesta es no, explicar el porqué.

4 PUNTOS

 2

Se tiene una bolsa con 111 bolitas de cuatro colores, verde, rojo, blanco o azul (cada bolita tiene un solo color). Si se sacan de la bolsa 100 bolitas, al azar, siempre hay entre ellas una de cada color. Determinar el número mínimo de bolitas que hay que sacar de la bolsa (sin espiar) para estar seguro de sacar al menos tres de tres colores diferentes.

5 PUNTOS

3 

Alan tiene que representar al 100 como suma de uno o más enteros positivos o bien todos iguales o bien tales que la diferencia entre el mayor y el menor sea 1. Determinar de cuántas maneras puede hacerlo.

ACLARACIÓN: Dos representaciones que usan los mismos números pero en otro orden se consideran una sola manera.

5 PUNTOS

4 

Dadas una recta y una circunferencia que no se cortan, construir con regla y compás un cuadrado con dos vértices consecutivos en la recta y los otros dos en la circunferencia, suponiendo que tal cuadrado existe.

5 PUNTOS

1

Maxi tiene que representar al 1000 como suma de uno o más enteros positivos o bien todos iguales o bien tales que la diferencia entre el mayor y el menor sea 1. Determinar de cuántas maneras puede hacerlo.

ACLARACIÓN: Dos representaciones que usan los mismos números pero en otro orden se consideran una sola manera.

4 PUNTOS

2

 Se tiene una bolsa con 100 bolitas de tres colores, rojo, blanco o azul (cada bolita tiene un solo color). Si se sacan de la bolsa 26 bolitas, al azar, siempre hay entre ellas 10 de un mismo color. Determinar el número mínimo de bolitas que hay que sacar de la bolsa (sin espiar) para estar seguro de sacar al menos 30 de un mismo color.

5 PUNTOS

 3

Tres circunferencias que pasan por un punto X se cortan nuevamente, dos a dos, en A, B y C, respectivamente. La recta AX corta nuevamente a la tercera circunferencia en D. De manera similar, las recta BX y CX definen los puntos E y F respectivamente. Demostrar que los triángulos BCD, CAE y ABF son semejantes.

5 PUNTOS

4

 Determinar para qué enteros n es posible ordenar los números enteros desde 1 hasta n inclusive de manera tal que el promedio de todo grupo de dos o más números consecutivos no sea nunca entero.

5 PUNTOS

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