Pretorneo Internacional de las Ciudades
Primer Pretorneo 2000

6 de Abril de 2000

1

a) Se dobla un triángulo rectángulo de papel a lo largo de una línea recta de manera tal que el vértice correspondiente al ángulo recto coincida con uno de los otros vértices. Se obtiene de este modo un cuadrilátero. Hallar en qué proporción divide cada diagonal del cuadrilátero a la otra diagonal.

2 PUNTOS

b) Se dobla un triángulo rectángulo de papel de área 1 lo largo de una línea recta de manera tal que el vértice correspondiente al ángulo recto coincida con uno de los otros vértices. Se obtiene de este modo un cuadrilátero. Este cuadrilátero se corta a lo largo de la diagonal con extremo en el tercer vértice del triángulo. Hallar el área del más chico de los dos pedazos en que queda dividido el cuadrilátero.

2 PUNTOS

2

Sea d = a⁴⁷ + b⁴⁷ + c⁴⁷, con a, b, c números enteros tales que a + b + c = 0.

a) Decidir si es posible que d sea igual a 2.

2 PUNTOS

b) Decidir si es posible que d sea un número primo.

2 PUNTOS

3

En el plano hay dibujadas n rectas de modo tal que cada recta intersecta a exactamente otras 19. Determinar todos los posibles valores de n.

4 PUNTOS

4

Decidir si es posible dividir un cuadrado de 6 x 6 en 18 rectángulos, cada uno de ellos de 2 x 1 o de 1 x 2 y luego trazar exactamente una diagonal en cada rectángulo de la subdivisión de modo tal que ninguna de las diagonales trazadas tenga algún punto en común con otra de las diagonales trazadas.

4 PUNTOS

1

El punto de intersección de las bisectrices de un triángulo se ha unido con cada vértice; de este modo, el triángulo se dividió en tres triángulos más pequeños. Si uno de estos tres triángulos pequeños es semejante al triángulo original, hallar las medidas de sus ángulos.

4 PUNTOS

2

Demostrar que hay infinitos enteros positivos impares n para los cuales el número 2ⁿ + n es un número compuesto (es decir, no es primo).

4 PUNTOS

3

En el espacio hay n planos de modo que cada uno de ellos intersecta a exactamente otros 19. Determinar todos los posibles valores de n.

4 PUNTOS

4

Decidir si es posible dividir el conjunto de los números enteros desde 1 hasta 100 inclusive en 50 grupos de dos números cada uno y luego asignar a cada grupo un entero entre 1 y 50 inclusive (sin repeticiones) de modo tal que en cada grupo, la diferencia entre el número mayor y el número menor sea igual al número asignado al grupo.

4 PUNTOS

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