XV Olimpíada Provincial de Buenos Aires 2006
Primer Nivel
Problema 1.
En este crucigrama hay que escribir un dígito en cada una de las 14 casillas blancas.
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HORIZONTALES |
VERTICALES |
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1. El cuadrado de un primo |
1. El cubo de un primo |
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4. 2 veces la raíz cúbica de 3 vertical |
2. El cuadrado de un entero |
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5. 3 veces la raíz cúbica de 1 vertical |
3. El cubo de un entero |
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7. El cuadrado de un primo |
6. El cuadrado de un entero |
Problema 2.
Hallar el mayor entero de 10 dígitos que no tiene dígitos repetidos y que es múltiplo de cada uno de los números del 1 al 9 (es decir, es múltiplo de 2, de 3, de 4, de 5, de 6, de 7, de 8 y de 9).
Problema 3.
Sea ABCD un cuadrilátero tal que
,
,
y
.
Se considera el punto M del lado BC tal que
.
Calcular la medida del ángulo 
.
Segundo Nivel
Problema 1.
En cada
casilla del tablero de 
hay
que escribir un dígito entre 1 y 9 inclusive de manera tal que se verifiquen
simultáneamente las siguientes tres condiciones:
· En cada fila del tablero figuren los 9 dígitos.
· En cada columna del tablero figuren los 9 dígitos.
· En
cada uno de los 9 cuadrados de 
del
tablero indicados con trazos gruesos figuren los 9 dígitos.
Problema 2.
En un torneo de ping pong participan jugadores de dos
clubes: Club Grande y Club Chico. Cada jugador juega exactamente un partido
contra cada uno de los otros (de su club y del otro club).
Se sabe que:
· Club Grande tiene 9 jugadores más que Club Chico.
· La cantidad de partidos ganados por jugadores de Club Grande es igual a 9 veces la cantidad de partidos ganados por jugadores de Club Chico.
Determinar la mayor cantidad de partidos ganados que puede
tener un jugador de Club Chico.
ACLARACIÓN: En el ping pong no hay empates.
Problema 3.
Sea ABC un triángulo tal que
,
y
.
Calcular la medida del lado BC.
Tercer Nivel
Problema 1.
Magalí y Nacho tienen que escribir cada uno una lista ordenada de fracciones de manera que las dos listas tengan la misma cantidad de fracciones y que la diferencia entre la suma de todas las fracciones de la lista de Magalí y la suma de todas las fracciones de la lista de Nacho sea mayor que 123. Las fracciones de la lista de Magalí son
y las fracciones de la lista de Nacho son
.
Hallar la menor cantidad de fracciones que debe escribir cada uno para lograr el objetivo.
Problema 2.
Nico tiene que escribir dos progresiones aritméticas con la mayor cantidad posible de términos y tales que
· Las dos progresiones tengan igual cantidad de términos.
· Las dos progresiones tengan el mismo primer término.
· El producto del último término de una progresión por el último término de la otra progresión sea igual a 16.
· El producto del penúltimo término de una progresión por el penúltimo término de la otra progresión sea igual a 30.
· El producto del antepenúltimo término de una progresión por el antepenúltimo término de la otra progresión sea igual a 42.
Hallar las dos progresiones que debe escribir Nico. Dar todas las posibilidades.
Problema 3.
Se tienen 4 esferas en el espacio, cada una tangente exteriormente con las otras 3. Dos de las esferas son de radio 3 y las otras dos, de radio 2. Una quinta esfera es tangente exteriormente a cada una de las cuatro anteriores. Determinar el radio de esta quinta esfera.
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