XIV Olimpíada Provincial de Buenos Aires 2005

Primer Nivel

Diremos que un número entero positivo x es bueno si la suma de los dígitos de x es impar y la suma de los dígitos de x+1 también es impar. Por ejemplo, 29 es bueno, porque 29+1=30 y 2+9=11 y 3+0=3 son ambos impares.
Determinar cuántos números menores que 10000 son buenos.

Tomás y Nico arrojan 13 veces una moneda. Si sale cara gana Tomás, si sale ceca gana Nico. Cada vez que se arroja la moneda, el perdedor le paga al ganador. La primera vez 1 centavo, la segunda 2 centavos, la tercera 4 centavos, y así siguiendo, cada vez el perdedor paga el doble de lo que pagó el perdedor de la vez anterior.
Si Nico comenzó con 565 centavos y finalizó con 258 centavos, determinar en qué jugadas ganó Nico.

Se considera un triángulo isósceles ABC con AC=BC y el ángulo  mayor que 90^o. Sea M el punto medio del lado AB. La bisectriz del ángulo  corta a CM en O y la mediatriz del lado BC corta a la recta CM en P. La bisectriz del ángulo  corta a AP en Q. Se sabe que MO=MP (pero O≠P). Calcular el ángulo .
ACLARACIÓN: La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice y lo divide en dos ángulos iguales.
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Segundo Nivel

En este crucigrama hay que escribir un dígito en cada una de las 20 casillas de modo que cada dígito del 0 al 9 se use exactamente 2 veces y que en las líneas horizontales 4 y 8, consideradas en conjunto, cada dígito figure exactamente una vez. Además:

ACLARACIÓN: El número en 1 vertical es igual a 4 multiplicado por 5 más la resta de los números de 4 horizontal menos 4 vertical.

Pablo y Fernando tienen cada uno una cantidad entera de pesos.
Pablo le dice a Fernando: “Si me das $3 la cantidad de dinero que yo tenga será x veces la cantidad de dinero que vos tengas”.
Fernando le dice a Pablo: “Si me das $x la cantidad de dinero que yo tenga será 3 veces la cantidad de dinero que vos tengas”.
Si x es un entero, dar los posibles valores de x y de las cantidades de dinero que tienen Pablo y Fernando.

Sea ABCD un paralelogramo de centro O y lados AB, BC, CD, DA. Sea P un punto en el semiplano determinado por AB que no contiene a C. Sean M y N los puntos medios de AP y BP, respectivamente. Si CM y DN se cortan en Q, calcular .

Tercer Nivel

Consideramos un tablero de 10x10 cuadriculado en cuadritos de 1x1, y tres tipos de fichas que cubren cada una exactamente 4 cuadritos del tablero.

tipo 1                  tipo 2                 tipo 3       

a) Decidir si se puede cubrir el tablero utilizando 4 fichas de tipo 1 y 21 fichas de tipo 2.
b) Decidir si se puede cubrir el tablero utilizando 4 fichas de tipo 1, 19 fichas de tipo 2 y 2 fichas de tipo 3.
ACLARACIÓN: Las fichas se pueden girar y/o dar vuelta.

Germán y Maxi juegan por turnos. Empieza Maxi diciendo un número entero positivo impar, y luego, cada vez que le toque jugar debe decir un número entero positivo impar que sea mayor al que dijo en su turno anterior. Germán, en cada turno, debe decir un cuadrado perfecto que sea mayor o igual que la suma de todos los números dichos por Maxi hasta ese momento. El objetivo de Maxi es que, al cabo de algún turno suyo, la suma de todos los números que él ha dicho desde que empezó el juego, sea menor que el último número de Germán. El objetivo de Germán es impedírselo. Los dos juegan a la perfección. Decidir si Maxi puede lograr su objetivo o Germán siempre lo puede neutralizar.

Se consideran tres puntos sobre una recta, A, B, C, con B entre A y C. Sean AA¢, y BB¢ dos rectas paralelas tales que A¢ y B¢ están en el mismo semiplano respecto de AB y A¢, B¢, C no están alineados.
Sea O el centro de la circunferencia que pasa por A, A¢, C y sea P el centro de la circunferencia que pasa por B, B¢, C. Hallar todos los valores posibles del ángulo  tales que  área(A¢CB¢)= área(OCP).

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