IV Olimpíada Provincial de Entre Ríos
7 y 8 de septiembre de 2000

1

Distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 en los lados de los cuadraditos, sin repetir, de modo tal que en cada uno de los cuatro cuadraditos, la suma de los cuatro números asignados a sus lados sea la misma.

2

En el pizarrón hay escritos dos números naturales de dos cifras. Nicolás multiplicó entre si los dos números del pizarrón y obtuvo un número de cuatro cifras, con la primera cifra de la izquierda igual a 2. Pedro sumó los dos números del pizarrón.

Si al número de Nicolás se le suprime la primera cifra de la izquierda, resulta un número de tres cifras, igual al número de Pedro. Determinar cuáles pueden ser los dos números del pizarrón. Dar todas las posibilidades.

3

Sean ABCD un cuadrado de lados AB, BC, CD, DA. Una recta que pasa por A y corta al lado BC en el punto E divide al rectángulo en dos figuras: el triángulo ABE y el trapecio AECD. Si se sabe que

área (ABE) / área (AECD) = 1 / 6,

calcular BE / EC.

1

El camino entre el pueblo y el refugio en la montaña mide un número entero de kilómetros. Una mañana, tres grupos de andinistas salen del pueblo hacia el refugio. El primer día, el grupo A recorre la sexta parte del camino, el grupo B la mitad del camino, y el grupo C la cuarta parte del camino. Al día siguiente, el grupo A recorre 100 km., el grupo B recorre 10 km., el grupo C recorre 78 km., y nadie llega al refugio. Si el grupo B ha recorrido en total, más distancia que el A, pero menos que el C, determinar cuánto mide el camino desde el pueblo hasta el refugio.

2

De un número natural n se sabe que tiene exactamente seis divisores positivos contando 1 y n. También se sabe que el producto de cinco de esos divisores es igual a 648. Hallar n.

3

En un triángulo ABC consideramos el punto D en AB tal que BD = 1/5 AB, y el punto E en AC tal que CE = 1/3 AC. Sea P el punto de intersección de CD y BE. Si se sabe que el área del triángulo BDP es igual a 3, calcular el área del triángulo ABC.

1

Se escribe una lista de números de acuerdo con las siguientes reglas: en el primer paso se escribe 84; en el segundo paso se escribe 132. A partir de aquí, en cada paso se escribe el número que resulta de sumarle al último número escrito el máximo común divisor de los dos últimos números escritos. Por ejemplo, el tercer número es el resultado de 132+mcd(84;132).

¿En qué paso se escribirá por primera vez un número terminado en 7 ceros?

2

Hay siete personas sentadas alrededor de una mesa redonda. Cada una piensa un número racional (puede ser negativo) y se lo dice en secreto a sus dos vecinos. Luego, cada persona suma su número más los dos números que le dieron sus vecinos y anuncia en voz alta el resultado. Si los resultados anunciados fueron, siguiendo el sentido de las agujas del reloj, los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, hallar los números que pensaron las siete personas.

3

En el triángulo ABC, sean M, N los puntos medios de los lados CA, AB, respectivamente. Se sabe que BM es menor que CN y que BM es perpendicular a CN. SI BC = 17 y el área del triángulo ABC es igual a 180, hallar las longitudes de BM y CN.

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