9a Olimpíada Matemática de la Cuenca del Pacífico.
13 de Marzo de 1997.

Cada problema vale 7 puntos.

1. Dado

S = 1 + (1 / (1+1/3)) + ( 1 / (1 + 1/3 + 1/6 + 1/10) ) + ... + ( 1 / (1 + 1/3 + 1/6 + ... + 1/1993006) )

Donde el denominador está formado por las sumas parciales de la sucesión de los recíprocos de los números triangulares, demostrar que S > 1001.

2. Hallar un entero n, con 100 =< n =< 1997, tal que ( 2^n + 2 ) / n sea también entero.

3. Sean ABC un triángulo inscrito en una circunferencia, ma, mb, mc las longitudes de las bisectrices del triángulo y , Ma, Mb, Mc las longitudes de las prolongaciones de dichas bisectrices hasta su segunda intersección con la circunferencia. Si

la = ( ma / Ma) , lb = ( mb / Mb ) , lc = ( mc / Mc )

Demostrar que

la / ( sen^2 (^A) ) + lb / ( sen^2 (^B) ) + lc / ( sen^2 (^C) ) >= 3 (^A es el ángulo A)

y vale la igualdad si y sólo si ABC es equilátero.

4. El tri&aautengulo A1A2A3 es rectángulo en A3. Se define una sucesión de puntos mediante el siguiente proceso iterativo para cada entero positivo n. Se traza desde An (n =< 3) la perpendicular al segmento An-2An-1 que lo intersecta en An+1.

a) Demostrar que si este proceso se continúa indefinidamente, entonces hay solamente un punto P en el interior de todos los triángulos An-2An-1An, n =< 3.

b) A1 y A3 puntos fijos. Hallar el lugar geométrico de los puntos P al variar A2 en todas sus posibles ubicaciones.

5. Supongamos que n personas A1, A2, ... , An (n =< 3) están sentadas en círculo y que Ai tiene ai objetos tales que a1 + a2 + ... + an = nN, donde N es un número positivo. Para que todas las personas tengan la misma cantidad de objetos, cada persona A1 le da o recibe objetos de sus dos vecinos Ai-1 y Ai+1 donde An+1 quiere decir A1 y A0 quiere decir An. ¿Cómo se debe realizar esta distrbución para que el número total de objetos transferidos sea el mínimo?

 


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