XXIII Olimpíada de la Cuenca del Pacífico

Marzo de 2011

Problema 1. Sean a, b, c enteros positivos. Demostrar que es imposible que todos los tres números , ,  sean cuadrados perfectos.

Problema 2. Cinco puntos del plano  son tales que entre ellos no hay tres alineados. Determinar el máximo valor posible que puede tomar el menor los ángulos , donde i, j, k son enteros distintos entre 1 y 5.

Problema 3. Sea ABC un triángulo acutángulo con  Las bisectrices interior y exterior del ángulo  cortan a la recta AC en  y , respectivamente, y las bisectrices interior y exterior del ángulo  cortan a la recta AB en  y , respectivamente. Supongamos que las circunferencias de diámetros  y  se cortan en el interior del triángulo ABC en el punto P. Demostrar que

 .

Problema 4. Sea n un entero positivo impar fijo. Consideramos m + 2 puntos distintos  (donde m es un entero no negativo) del plano coordenado de modo que se satisfacen las siguientes 3 condiciones:

(1) , , y para cada entero i, 1 ≤ i ≤ m, las dos coordenadas de  son enteros entre 1 y n (1 y n inclusive).

(2) Para cada entero i, 0 ≤  i ≤  m,  es paralelo al eje x si i es par, y es paralelo al eje y si i es impar.

(3) Para cada par i, j, con 0 ≤ i < j ≤  m, los segmentos  y  comparten a lo sumo 1 punto.

Determinar el máximo valor posible que puede tomar m.

Problema 5. Hallar todas las funciones , donde  es el conjunto de los números reales, que satisfacen las siguientes 2 condiciones:

(1) Existe un número real M tal que para todo número real x, se satisface .

(2) Para todo par de números x e y, se satisface